U1.T2 — Autovalores, invariantes e cálculo tensorial

MAE369 — Mecânica e Fenômenos de Transporte · IM/UFRJ · 2026/2

01Onde estamos

O que esta sessão acrescenta

Figura 1

Bloco A, 8 min.

Quadro 1 continua lá, de U1.T1 — a pergunta “Por que tanta maquinaria?” não é apagada. Reler em voz alta antes de começar.

Frase de abertura sugerida: “na sessão passada os tensores eram estáticos; hoje eles ganham estrutura interna e depois aprendem a variar no espaço — e no fim aparece o primeiro teorema de integração do curso.”

A tabela de notação é projetada no estado v0.1 e avisada: hoje ela ganha as últimas linhas e é encerrada.

A questão de U1.T1 recebe metade da resposta

Por que a mecânica do contínuo precisa de todo esse formalismo tensorial?

Ao final desta sessão teremos um dos dois ingredientes do método: o teorema que converte integrais de superfície em integrais de volume.

O outro ingrediente chega em U3.T1. A questão permanece aberta até lá.

Não abrir a caixa. A tensão continua sendo o produto pedagógico da unidade.

Se perguntarem por que não se responde já: a resposta é que falta exatamente uma peça, e ela tem nome e data — U3.T1.

PS1.2 foi proposta em U1.T1 e é usada hoje, no bloco B. Quem tentou, colhe; quem não tentou, tem o enunciado auto-contido nas notas.

02Simétrico, antissimétrico, vetor dual

A decomposição

\[\begin{aligned} &T_{ij} = \tfrac12\!\left(T_{ij} + T_{ji}\right) + \tfrac12\!\left(T_{ij} - T_{ji}\right) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf T = \tfrac12\!\left(\mathbf T + \mathbf T^{\mathsf T}\right) + \tfrac12\!\left(\mathbf T - \mathbf T^{\mathsf T}\right) && \text{(direta)} \end{aligned}\]

A primeira parcela é simétrica, a segunda é antissimétrica — verifica-se transpondo cada uma. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.20)

A unicidade da decomposição é o item (b) de PS1.2, proposto em U1.T1.

Quadro 2 abre aqui. Escrever T = S + A e manter até o fim do bloco C.

Existência: uma linha, na forma direta. Não gastar mais que isso.

Unicidade: não demonstrar. É PS1.2, já proposta. Apontar para o enunciado nas notas e seguir. Vale dizer em voz alta que o “a” de “a parte antissimétrica” só é legítimo por causa dela.

A contagem: nove, seis e três

Figura 2

Três números independentes é exatamente o que um vetor tem.

Deixar a contagem ser feita pela turma antes de mostrar os números: quantas componentes livres tem um simétrico? E um antissimétrico?

A diagonal nula do antissimétrico sai de \(A_{ij} = -A_{ji}\) com \(i = j\). Fazer essa substituição no quadro — são cinco segundos e mata a dúvida.

A frase final é a ponte para o slide seguinte. Não antecipar a resposta.

O vetor dual

Seja \(\mathbf W\) antissimétrico. Seu vetor dual \(\mathbf w\) satisfaz \[\mathbf W\mathbf a = \mathbf w\times\mathbf a \qquad\text{para todo } \mathbf a .\]

\[\begin{aligned} &W_{ij} = -\varepsilon_{ijk}\,w_k \qquad\qquad w_k = -\tfrac12\,\varepsilon_{kij}\,W_{ij} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf W\mathbf a = \mathbf w\times\mathbf a && \text{(direta)} \end{aligned}\]

(Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.21)

Quadro 2. Obter as duas fórmulas ao vivo — são quatro linhas ao todo.

Primeira: \(W_{ij} = \mathbf e_i\cdot\mathbf W\mathbf e_j = \mathbf e_i\cdot(\mathbf w\times\mathbf e_j) = \varepsilon_{ipj}w_p = -\varepsilon_{ijp}w_p\).

Segunda: multiplicar por \(-\tfrac12\varepsilon_{kij}\) e usar \(\varepsilon_{kij}\varepsilon_{mij} = 2\delta_{km}\) — que é exatamente o item (b) de PS1.1, demonstrado na sessão passada. Dizer isso: a identidade \(\varepsilon\)–\(\delta\) está pagando dividendos hoje.

O que o vetor dual faz

Figura 3

Dar 15 segundos de silêncio antes de comentar.

O caso desenhado é o mais simples: \(\mathbf w\) unitário e perpendicular ao plano. Aí a ação de \(\mathbf W\) sobre vetores do plano é rotação de 90 graus sem mudar o comprimento. No caso geral \(\mathbf w\) não é unitário nem perpendicular, e a imagem encolhe pelo seno do ângulo — mencionar, não desenvolver.

Anúncio obrigatório (L2-U1, item 1), a fazer aqui e nada além dele: este \(\mathbf W\) e este \(\mathbf w\) voltam em U2.T2 com nomes físicos. Hoje são álgebra; lá serão cinemática. Guardem a fórmula.

Não dizer quais são os nomes físicos, não falar de rotação de partícula, não mencionar vorticidade. A semântica física é conteúdo de U2.T2.

O símbolo ómega está reservado e não é o vetor dual — se alguém escrever ómega no quadro, corrigir para w na hora.

Para todo a, e não só para um

A figura do slide anterior desenha um caso; a definição diz “para todo \(\mathbf a\)”. É essa distância que a varredura fecha — deixar rodar sem narrar.

Na segunda metade \(\mathbf w\) se inclina até ficar paralelo a \(\mathbf a\) e \(|\mathbf W\mathbf a|\) vai a zero pelo seno do ângulo. Vale perguntar antes: o que acontece quando \(\mathbf w\) e \(\mathbf a\) ficam paralelos?

O vídeo calcula \(\mathbf W\mathbf a\) pela matriz \(W_{ij} = -\varepsilon_{ijk}w_k\), não pelo produto vetorial. Isso é de propósito: se calculasse pelo produto vetorial, ilustraria a fórmula em vez de verificá-la.

03Autovalores, direções principais, invariantes

Autovalores e equação característica

\[\begin{aligned} &\left(T_{ij} - \lambda\,\delta_{ij}\right) n_j = 0 \qquad\text{com}\qquad n_j n_j = 1 && \text{(indicial)}\\[4pt] &\left(\mathbf T - \lambda\,\mathbf I\right)\mathbf n = \mathbf 0 \qquad\text{com}\qquad \mathbf n\cdot\mathbf n = 1 && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Sistema linear homogêneo: há solução não trivial exatamente quando

\[\det\!\left(\mathbf T - \lambda\,\mathbf I\right) = 0 .\]

Uma cúbica em \(\lambda\). Suas raízes são os autovalores. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.22)

Motivação antes do formalismo: partir da pergunta “existe alguma direção que \(\mathbf T\) não gira?” e só então escrever a equação.

A normalização \(\mathbf n\cdot\mathbf n = 1\) não é decoração: sem ela o autovetor fica indeterminado a menos de um fator. Com ela, resta apenas o sinal.

O exemplo numérico completo está nas notas. Em aula, fazer só o caso \(\lambda = 2\), que sai por inspeção.

O que distingue uma direção principal

Figura 4

Perguntar à turma o que distingue os dois painéis antes de comentar.

A resposta desejada: à esquerda a imagem saiu da direção do vetor; à direita não. Autovetor é precisamente a direção em que isso não acontece.

O círculo tracejado é o círculo unitário; a elipse é sua imagem por \(\mathbf T\). Dizer isso em voz alta, porque o slide não diz.

Só duas direções resistem

O que a figura estática não entrega é a contagem: que sobrem exatamente duas direções é algo que ela pede que se aceite.

Pausar quando a coroa esmaece e perguntar quantas sobraram, antes de a resposta aparecer.

Se alguém perguntar o que aconteceria com autovalores iguais: aí toda direção é principal, e a contagem “duas” falha. É o caso degenerado, que está nas notas como leitura.

Tensores simétricos reais

Se \(\mathbf T\) é simétrico e real, então: (i) seus autovalores são reais; (ii) autovetores de autovalores distintos são ortogonais; (iii) existe ao menos um triedro de direções principais mutuamente ortogonais.

Demonstração de (ii). De \(\mathbf n_2\cdot\mathbf T\mathbf n_1 = \lambda_1\,\mathbf n_2\cdot\mathbf n_1\) e \(\mathbf n_1\cdot\mathbf T\mathbf n_2 = \lambda_2\,\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2\), com \(\mathbf T = \mathbf T^{\mathsf T}\) os lados esquerdos coincidem, logo

\[\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\left(\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2\right) = 0 .\]

Quadro 2. Fazer (ii) ao vivo — são três linhas e usa só a definição de transposto, de U1.T1.

1. está nas notas, com conjugação complexa; enunciar aqui, não demonstrar, e dizer que a demonstração está escrita.

2. com autovalores distintos segue de (ii). Com raiz repetida, o argumento é outro — está nas notas como leitura, [lai2010 §2.23], e não vira item de lista: PS1 já tem quatro itens.

Vale registrar por que este teorema importa: tensão, deformação e taxa de deformação são todos simétricos. É ele que autoriza falar em tensões principais em U3.T2.

Os invariantes principais

\[\begin{aligned} &\lambda^3 - I_1\lambda^2 + I_2\lambda - I_3 = 0 && \text{(igual nas duas notações)}\\[8pt] &I_1 = T_{ii}, \qquad I_2 = \tfrac12\!\left(T_{ii}T_{jj} - T_{ij}T_{ji}\right), \qquad I_3 = \varepsilon_{ijk}T_{1i}T_{2j}T_{3k} && \text{(indicial)}\\[6pt] &I_1 = \operatorname{tr}\mathbf T, \qquad I_2 = \tfrac12\!\left[(\operatorname{tr}\mathbf T)^2 - \operatorname{tr}(\mathbf T^2)\right], \qquad I_3 = \det\mathbf T && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Por que “invariantes”: os autovalores são definidos sem referência a base alguma; logo os coeficientes do polinômio que os tem por raízes também não dependem dela. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.25)

Quadro 2, empilhados nas duas colunas.

O argumento conceitual — autovalores não dependem da base, logo os coeficientes tampouco — deve vir antes da conta. A conta é PS1.4.

Meia-frase permitida, sem desenvolver: os invariantes voltam em U4, quando forem tudo o que uma relação constitutiva isotrópica pode enxergar de um tensor. Nada além disso — funções isotrópicas são conteúdo de U4.

As nove entradas correm; três números não

Este é o vídeo mais importante da sessão. “Invariante” é uma afirmação sobre o que fica parado enquanto outra coisa varia, e nenhum quadro parado carrega isso: ele só pode exibir duas bases e pedir que se acredite que a coincidência dos três números não é sorte da escolha particular.

Deixar a varredura inteira rodar em silêncio. O argumento é visual.

Se quiserem o número: as entradas de \([\mathbf T]'\) chegam a variar 4,24 ao longo do giro, e os três invariantes variam menos que \(10^{-14}\) — ou seja, arredondamento de ponto flutuante e nada mais.

A conta que demonstra isso é PS1.4.

Exercício proposto: PS1.4

Partindo da lei de transformação \(T'_{ij} = Q_{mi}Q_{nj}T_{mn}\), obtida em U1.T1, mostre passo a passo que \(I_1\), \(I_2\) e \(I_3\) não mudam com a base. O último item pede uma verificação numérica com uma rotação qualquer.

Roteiro completo nas notas de aula, em cinco itens.

Derivação guiada: cada item usa o resultado do anterior (L1 §2.3).

O item (e) é numérico e conversa diretamente com o laboratório U1.L1, onde a mesma verificação é feita com einsum. Dizer isso agora aumenta a chance de fazerem os dois.

04Os operadores diferenciais

De objeto a campo

Figura 5

A partir daqui, cada ponto do espaço tem seu próprio escalar, vetor ou tensor.

Quadro 3 abre aqui, em duas colunas — é a transcrição direta para a tabela de notação, e fica no quadro até o fim do bloco.

O critério de ordem é o que se quer que saia da aula antes de qualquer fórmula: gradiente sobe, divergência desce, rotacional e laplaciano preservam. Com ele já se descarta expressão mal formada.

As cinco definições

\[\begin{aligned} &(\nabla\varphi)_i = \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} \qquad (\nabla\mathbf v)_{ij} = \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \qquad \operatorname{div}\mathbf v = \frac{\partial v_i}{\partial x_i} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\nabla\varphi \qquad\qquad\ \ \nabla\mathbf v \qquad\qquad\quad\ \, \operatorname{div}\mathbf v = \nabla\cdot\mathbf v = \operatorname{tr}(\nabla\mathbf v) && \text{(direta)} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &(\operatorname{div}\mathbf T)_i = \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j} \qquad (\operatorname{rot}\mathbf v)_i = \varepsilon_{ijk}\frac{\partial v_k}{\partial x_j} \qquad \Delta\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_i \partial x_i} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\operatorname{div}\mathbf T \qquad\qquad\quad \operatorname{rot}\mathbf v = \nabla\times\mathbf v \qquad\quad\ \ \Delta\varphi = \nabla^2\varphi && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Quadro 3. Escrever as seis linhas em duas colunas, sem pressa — é a tabela de notação nascendo.

\(\operatorname{div}\mathbf v = \operatorname{tr}(\nabla\mathbf v)\) merece ser dito explicitamente: a divergência não é um operador novo, é o traço do gradiente.

Sobre o rotacional: [lai2010] escreve a mesma coisa como \(-\varepsilon_{ijk}\partial v_j/\partial x_k\) (eq. 2.30.4). É a mesma expressão — trocar os dois índices mudos troca o sinal de épsilon. Avisar, senão concluem que o livro discorda do quadro.

Duas convenções fixadas de uma vez por todas

\[(\nabla\mathbf v)_{ij} = \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \qquad\qquad (\operatorname{div}\mathbf T)_i = \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j}\]

Em \(\nabla\mathbf v\), o primeiro índice é o da componente e o segundo o da derivada. Em \(\operatorname{div}\mathbf T\), a contração é no segundo índice. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.28–2.29)

(Ruderman 2019, seç. 2.11) adota as duas transpostas. Para tensor simétrico as divergências coincidem; para tensor qualquer, não.

Este slide é o que impede meses de erro de sinal. Fixar aqui, registrar na tabela de notação, nunca rediscutir (regra L1 §4.7).

Dizer com todas as letras: há livros que contraem o outro índice, e um deles é o Ruderman, que está na bibliografia da disciplina. Não vamos rediscutir a escolha — ela está na tabela, para sempre. Quem comparar uma fórmula nossa com a dele deve checar essas duas linhas antes de concluir que há erro.

Detalhe honesto que vale mencionar: para tensor simétrico não faz diferença nenhuma, e quase todos os tensores do curso são simétricos. A diferença aparece justamente onde dói — no tensor gradiente de velocidade, que não é simétrico.

Duas identidades de trabalho

\[\begin{aligned} &\frac{\partial (\varphi v_i)}{\partial x_i} = \varphi\,\frac{\partial v_i}{\partial x_i} + v_i\,\frac{\partial \varphi}{\partial x_i} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\operatorname{div}(\varphi\,\mathbf v) = \varphi\,\operatorname{div}\mathbf v + \mathbf v\cdot\nabla\varphi && \text{(direta)} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\frac{\partial (T_{ij}\,v_i)}{\partial x_j} = v_i\,\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j} + T_{ij}\,\frac{\partial v_i}{\partial x_j} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\operatorname{div}\!\left(\mathbf T^{\mathsf T}\mathbf v\right) = \mathbf v\cdot\operatorname{div}\mathbf T + \mathbf T : \nabla\mathbf v && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Quadro 3, embaixo das definições. Cada uma sai em uma linha, em indicial: é a regra do produto e nada mais.

A segunda foi escolhida de propósito entre dezenas: é exatamente a identidade que U3.T3 usa no teorema da energia. Dizer só isso — “guardem esta; ela paga dividendos em U3” — e seguir. Não abrir o que é o teorema da energia.

Lembrar que \(\mathbf A : \mathbf B = A_{ij}B_{ij}\) já apareceu em U1.T1 como \(\operatorname{tr}(\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf B)\).

Uma advertência de notação, para depois

Todos os campos de hoje são estáticos: dependem de \(\mathbf x\) e de mais nada.

Quando o tempo entrar, em U2.T1, a derivada temporal de um campo espacial receberá símbolo próprio, \(\mathrm{D}/\mathrm{D}t\), e escrever \(d/dt\) para um campo espacial passará a ser erro de notação.

O operador não é definido hoje. O aviso fica registrado.

Trinta segundos, não mais. O objetivo é impedir que o hábito errado se forme, não ensinar a derivada material — isso é U2.T1 e nada aqui antecipa.

Se perguntarem o que \(\mathrm{D}/\mathrm{D}t\) significa: “é a próxima aula”.

05O teorema da divergência

O caso vetorial, admitido do Cálculo

\[\begin{aligned} &\int_V \frac{\partial w_j}{\partial x_j}\,dV = \oint_S w_j\,n_j\,dS && \text{(indicial)}\\[4pt] &\int_V \operatorname{div}\mathbf w\,dV = \oint_S \mathbf w\cdot\mathbf n\,dS && \text{(direta)} \end{aligned}\]

\(V\) é um volume regular — limitado, com fronteira \(S\) suave por partes — e \(\mathbf n\) é a normal unitária exterior a \(S\).

Enunciar, não demonstrar — é resultado do Cálculo e assim está declarado nas notas.

Escrever nas duas formas no quadro: a forma indicial é a que será usada no slide seguinte, e a passagem de uma para a outra é o conteúdo do bloco.

A ideia da demonstração

Figura 6

Quadro 4 — a demonstração linha a linha, e ela fica no quadro até o fim da aula. É a imagem que se quer que saia na foto.

Cabe em meia lousa: fixar \(i = 1\), chamar \(w_j := T_{1j}\), aplicar o teorema vetorial, repetir para \(i = 2\) e \(i = 3\), reempacotar.

O que se quer que fique não é o teorema, é o método: escrito com índices, um enunciado sobre tensores vira um enunciado sobre vetores, e o teorema novo se reduz a um teorema conhecido.

Resultado 1.7

Para um campo tensorial continuamente diferenciável em um volume regular \(V\) de fronteira \(S\), com normal unitária exterior \(\mathbf n\):

\[\begin{aligned} &\int_V \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j}\,dV = \oint_S T_{ij}\,n_j\,dS && \text{(indicial)}\\[4pt] &\int_V \operatorname{div}\mathbf T\,dV = \oint_S \mathbf T\mathbf n\,dS && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Encaixotar e numerar no quadro. Este é o artefato que a unidade produz e que será citado literalmente em U3.T1, U3.T2, U3.T3 e U9.L1 — pelo número, “Resultado 1.7 de U1.T2”.

Vale dizer que é o resultado mais reutilizado de toda a unidade.

O que este resultado faz

Ele converte uma integral sobre uma superfície fechada em uma integral sobre o volume que ela limita.

É um dos dois ingredientes do método pelo qual se obtêm as equações de campo da mecânica do contínuo.

O outro é o Teorema do Transporte (TTR), enunciado e demonstrado em U3.T1. Quando os dois forem usados juntos, a questão de U1.T1 é respondida.

Voltar ao Quadro 1 e desenhar ao lado da pergunta meia engrenagem rotulada “div: superfície para volume”, com a legenda “a outra metade: TTR, em U3.T1”. Não apagar.

Limite rígido deste momento: nada de enunciar, demonstrar ou esboçar o TTR; nada de volume material, balanço integral ou localização. É um ponteiro nominal, não um adiantamento. Citar o nome exato — Teorema do Transporte (TTR) — e parar.

Se a turma pedir mais, a resposta é que a peça que falta tem nome e data.

06Coordenadas curvilíneas

Por que trocar de coordenadas

Figura 7

As bases continuam ortonormais em cada ponto, mas não são as mesmas em pontos diferentes.

Bloco F, 15 min, teto rígido — o formulário absorve o que não couber.

Motivação em uma frase: tubos e esferas existem, e a Unidade 6 vai resolver escoamento em tubo. Nada além disso sobre U6.

Em U1.T1 avisamos que ortonormal não quer dizer constante. É agora que a distinção passa a valer alguma coisa; vale relembrar em uma frase.

A conta que gera todos os termos \(1/r\)

\[\mathbf e_r = \cos\theta\,\mathbf e_1 + \operatorname{sen}\theta\,\mathbf e_2, \qquad \mathbf e_\theta = -\operatorname{sen}\theta\,\mathbf e_1 + \cos\theta\,\mathbf e_2\]

\[\frac{\partial \mathbf e_r}{\partial\theta} = \mathbf e_\theta, \qquad \frac{\partial \mathbf e_\theta}{\partial\theta} = -\,\mathbf e_r, \qquad \frac{\partial \mathbf e_r}{\partial r} = \frac{\partial \mathbf e_\theta}{\partial r} = \mathbf 0\]

Derivar um campo obriga a derivar também a base. Cada derivada de base acrescenta um termo. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.33)

Quadro 4, no canto: estas três linhas são o único cálculo do bloco. Fazer ao vivo, leva um minuto.

Em cartesianas esse trabalho não aparece porque lá as derivadas dos vetores de base são todas nulas. É a única diferença estrutural entre os dois casos, e é toda a origem dos termos com 1/r.

O exemplo de onde sai o termo \(v_r/r\) está nas notas, escrito por extenso.

O limite, visto de perto

O bloco tem teto rígido e entrega a receita, não a dedução — então a compreensão do mecanismo é o único produto do bloco, e o mecanismo é um limite, isto é, um movimento.

A seta azul é a diferença exata entre os dois \(\mathbf e_r\), não um traço esquemático: seu comprimento é \(2\operatorname{sen}(d\theta/2)\). O ângulo dela com \(\mathbf e_\theta\) é exatamente \(d\theta/2\), e é isso que o medidor exibe.

No fim o vídeo volta a \(d\theta = 12^\circ\) de propósito: em \(0{,}8^\circ\) a corda é correta e invisível, e o quadro final precisa ser legível.

O formulário

Cilíndricas e esféricas: \(\nabla\varphi\), \(\nabla\mathbf v\), \(\operatorname{div}\mathbf v\), \(\operatorname{rot}\mathbf v\), \(\operatorname{div}\mathbf T\), \(\Delta\varphi\) — e \(\Delta\mathbf v\) em cilíndricas.

Documento de consulta permanente, com o cabeçalho declarando as convenções.

A dedução completa está em (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.33–2.35), como leitura. O curso não a refaz linha a linha.

Distribuir impresso e apontar o endereço no repositório. Alinhar com a política de prova antes de imprimir; o padrão é permitido, por ser formulário não resolutivo.

Dizer explicitamente que o curso não deduz a tabela inteira, e por quê: seriam horas de manipulação com pouco conteúdo conceitual novo depois que o mecanismo da rotação da base está entendido. O que se ganha em compreensão está no slide anterior; o que se ganha em fluência está em PS1.3.

Consultas de sessões futuras remetem a ele pelo nome.

Exercício proposto: PS1.3

Obter do zero a componente radial de \(\operatorname{div}\mathbf T\) em coordenadas cilíndricas, em cinco passos numerados, e comparar o resultado com a linha correspondente do formulário.

O passo final audita a tabela em vez de recebê-la pronta.

Roteiro extra-detalhado no enunciado, precisamente porque a aula deu apenas o mecanismo e não a dedução (L1 §2.3).

O item (e) é o que dá sentido ao exercício: pelo menos uma linha do formulário foi conquistada, não recebida. Dizer isso.

Verificado na redação: nenhuma sobreposição com Ruderman Pr. 2.10–2.19.

07Fechamento

Síntese

Produzido hoje — a tabela de notação, encerrada na versão 1.0; o Resultado 1.7; o formulário de coordenadas curvilíneas.

Exercícios propostos: PS1.3 (curvilíneas) e PS1.4 (invariantes). Com PS1.1 e PS1.2, de U1.T1, a Lista 1 está completa.

Estudo complementar, não avaliado: Ruderman, problemas 2.10 a 2.19.

Antes do laboratório: miniforge instalado, conforme as notas de U1.T1.

Reler o Quadro 1 uma última vez: a pergunta segue sem resposta, e agora falta exatamente uma peça, com nome e data.

A tabela de notação é encerrada aqui. Nova tradução só a partir de U4.T1, e em outro documento.

Ponte para U1.L1: tudo desta aula vira código. einsum é a notação indicial executável, eigh confere os invariantes de hoje. Trazer laptop com miniforge instalado.

Não ditar datas de memória — apontar para o calendário publicado.

Referências

Lai, W. Michael, David Rubin, e Erhard Krempl. 2010. Introduction to Continuum Mechanics. 4º ed. Butterworth-Heinemann.

Ruderman, Michael S. 2019. Fluid Dynamics and Linear Elasticity: A First Course in Continuum Mechanics. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer.