U1.T1 — Notação indicial e álgebra tensorial

MAE369 — Mecânica e Fenômenos de Transporte · IM/UFRJ · 2026/2

01Abertura do curso

Organização da disciplina

Encontros	Segundas e quartas, 10h–12h
Avaliação	P1 e P2 (30% cada) · quatro listas (5% cada) · mini-projeto (20%)
Ferramentas	Python e NumPy, com implementação própria dos métodos numéricos; FEniCSx apenas na Unidade 9, como implementação de referência
Datas	no calendário publicado na página da disciplina

Bloco A, 12 min. Contrato primeiro, para tirá-lo da frente.

Não ditar datas de memória — apontar sempre para o calendário publicado.

Operacional, não esquecer: distribuir hoje as instruções de pré-instalação do miniforge. O ambiente completo é entregável de U1.L1, mas quem chegar lá sem o instalador perde a aula.

O método central do curso

Figura 1

As leis de balanço da mecânica do contínuo são obtidas por um único método, aplicado repetidamente. As duas primeiras unidades constroem a linguagem matemática que esse método exige.

Quadro 1, persistente pelas três sessões de U1.

Dizer o nome do teorema uma única vez e seguir adiante: “há um teorema, o Teorema do Transporte, que enunciamos em U3; até lá construímos a linguagem em que ele se escreve.”

Não abrir a caixa. A tensão é o produto pedagógico desta sessão.

A questão que organiza esta unidade

Por que a mecânica do contínuo precisa de todo esse formalismo tensorial?

A resposta não é dada nesta unidade. Ela aparece em U3.T1, quando o Teorema do Transporte converter balanços integrais em equações diferenciais.

Escrever a pergunta no canto do Quadro 1 e não apagar até U3.T1.

Se perguntarem “mas por quê?”, a resposta é que a pergunta fica registrada e será respondida.

A tese desta unidade: escrever cada resultado em duas notações não é preferência de estilo — é o modo mais econômico de distinguir o objeto matemático da sua representação numérica.

02A convenção de soma

A convenção de soma

\[\begin{aligned} &s = a_i b_i = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 && \text{(indicial)}\\[4pt] &s = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathsf T}\mathbf{b} && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Um índice repetido em um monômio indica soma sobre \(\{1,2,3\}\). Índices latinos \(i, j, k, m, n\) percorrem sempre esse conjunto (Lai, Rubin, e Krempl 2010).

A letra escolhida para um índice somado é arbitrária: \(a_ib_i\) e \(a_mb_m\) denotam o mesmo número.

Primeiro bloco em dupla notação da disciplina. Dizer explicitamente que, a partir de agora, toda equação em destaque aparece nas duas formas, e que a coluna da direita não é tradução decorativa: as duas descrevem o mesmo objeto sob pontos de vista diferentes.

A letra do índice é arbitrária

Deixar rodar sem narrar os primeiros 15 s: a expansão parada enquanto a letra troca é o argumento inteiro, e falar por cima atrapalha.

Depois do contraste com o índice livre, perguntar por que \(a_m = b_i\) não faz sentido. A resposta desejada: os dois lados passariam a falar de coisas diferentes — à esquerda a componente \(m\), à direita a componente \(i\).

Índices livres e índices mudos

Figura 2

Quadro 2. Escrever as três regras e mantê-las visíveis durante todo o bloco:

1. índice mudo aparece exatamente duas vezes por termo;
2. índice livre aparece em todos os termos, sempre o mesmo;
3. índice mudo pode ser renomeado; índice livre não.

Mostrar já a expressão inválida \(a_ib_ix_i\) — três ocorrências. Se a soma for mesmo necessária, o símbolo de somatório tem de voltar.

Correspondência entre as duas notações

indicial	direta / matricial
\(a_i b_i\)	\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\)
\(T_{ij} v_j\)	\(\mathbf{T}\mathbf{v}\)
\(A_{ij} B_{jk} = C_{ik}\)	\(\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{C}\)
\(A_{ij} B_{ij}\)	\(\operatorname{tr}(\mathbf{A}^{\mathsf T}\mathbf{B})\)

Na última linha, a expressão indicial é mais curta que a direta. Esse é o primeiro caso; haverá outros, em ambas as direções.

Quadro 3 — o dicionário de notação. Este quadro nasce aqui, cresce até o fim da sessão e é o rascunho do handout que sai depois da aula. Cada resultado novo ganha sua linha na hora. Não apagar.

O delta de Kronecker

\[\begin{aligned} &\delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j\\ 0, & i \neq j\end{cases} \qquad \delta_{ij}a_j = a_i \qquad \delta_{ij}\delta_{jk} = \delta_{ik} && \text{(indicial)}\\[4pt] &[\delta_{ij}] = \mathbf{I} \qquad \mathbf{I}\mathbf{a} = \mathbf{a} \qquad \mathbf{I}\mathbf{I} = \mathbf{I} && \text{(direta)} \end{aligned}\]

O delta atua substituindo um índice por outro; é assim que ele aparece na maioria das derivações do curso.

\(\delta_{ii} = \delta_{11} + \delta_{22} + \delta_{33} = 3\). O índice está repetido, portanto somado.

\(\delta_{ii}=3\) é um erro frequente. Fazer a turma dizer o valor em voz alta.

Vale escrever: o delta não “vale 1” — ele é um operador de substituição de índice.

O slide seguinte fixa a convenção de base ortonormal, que é o que liga o delta à geometria.

Convenção: bases ortonormais

Salvo menção explícita em contrário, toda base \(\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}\) utilizada neste curso é ortonormal: \[\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j = \delta_{ij}.\]

É essa hipótese que permite obter componentes por projeção — como faremos a seguir, ao escrever \(T_{ij} = \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{T}\mathbf{e}_j\). Em mecânica do contínuo ela é adotada quase sempre, e vamos mantê-la ao longo de toda a disciplina.

Convenção permanente: registrar no dicionário de notação, junto com a convenção de \(\mathbf{Q}\).

Duas coisas que valem ser ditas em voz alta e não estão no slide:

1. Sem ortonormalidade nada disso funciona. \(\delta_{ij} = \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j\), \(T_{ij} = \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{T}\mathbf{e}_j\) e a lei de transformação com \(\mathbf{Q}\) ortogonal pressupõem todas a mesma hipótese. Numa base oblíqua seria preciso distinguir componentes covariantes de contravariantes — o que este curso não faz, de propósito.
2. Ortonormal não quer dizer constante. Em U1.T2 aparecem bases ortonormais que mudam de ponto para ponto. Não desenvolver aqui; apenas não deixar a turma concluir que ortonormal significa cartesiana fixa.

Origem histórica da notação

• 1822 — Cauchy descreve o estado de tensão em um ponto por meio de nove quantidades. A álgebra sistemática para manipulá-las ainda não existia.
• 1916 — Einstein adota a supressão do símbolo de somatório para índices repetidos, uma simplificação de escrita que se tornou padrão.

A notação foi desenvolvida em resposta a problemas concretos da mecânica do contínuo. O ensino, por necessidade, apresenta-a antes dos problemas que a motivaram.

Aparte histórico protegido: máximo 8 minutos (L1 §2.1). Cronometrar.

A mensagem não é a anedota. É que a maquinaria de hoje foi resposta a um problema físico concreto que a turma vai encontrar em U3 — o que é metade da resposta à pergunta do Quadro 1, e tudo o que eles ganham dela hoje.

03O símbolo de permutação

O símbolo de permutação

Figura 3

Desenhar a roda no quadro antes de mostrar o slide — leva 20 segundos e vale mais que a figura.

Antissimetria total: trocar qualquer par de índices troca o sinal. Consequência que eles usarão o semestre inteiro: se \(S_{jk}\) é simétrico, então \(\varepsilon_{ijk}S_{jk} = 0\).

Produto vetorial e determinante

\[\begin{aligned} &(\mathbf{a}\times\mathbf{b})_i = \varepsilon_{ijk}\,a_j b_k && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf{a}\times\mathbf{b} && \text{(direta)} \end{aligned}\]

\[\det\mathbf{A} = \varepsilon_{ijk}\,A_{1i}A_{2j}A_{3k} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \det[\mathbf{A}]\]

Nestes dois casos a notação direta apenas nomeia a operação: o cálculo efetivo é feito na forma indicial. As duas notações, portanto, não são intercambiáveis.

Primeiro argumento honesto a favor da dupla notação: às vezes a coluna da direita é só um rótulo. Dizer isso explicitamente evita que concluam que a notação direta é sempre preferível — e prepara o bloco de eficiência, onde a situação se inverte.

A identidade \(\varepsilon\)–\(\delta\)

\[\varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\]

Esta identidade converte todo produto de dois símbolos de permutação em deltas — e, portanto, todo produto vetorial duplo em produtos escalares.

Enunciar aqui; a demonstração vem no slide seguinte, em quatro casos.

(Lai, Rubin, e Krempl 2010) enuncia a identidade contraindo o último índice (eq. 2.4.7). É a mesma identidade com outras letras. Avisar, senão concluem que o livro discorda do quadro.

Demonstração: os quatro casos

Os quatro casos abaixo esgotam todas as escolhas de \((j,k,m,n)\).

	hipótese	lado esquerdo	lado direito
1	\(j = k\) ou \(m = n\)	\(0\)	\(0\)
2	\(j \neq k\), \((m,n) = (j,k)\)	\(+1\)	\(+1\)
3	\(j \neq k\), \((m,n) = (k,j)\)	\(-1\)	\(-1\)
4	\(j \neq k\), \(m \neq n\), \(\{m,n\} \neq \{j,k\}\)	\(0\)	\(0\)

Verificamos os casos 1 e 2 no quadro. Os casos 3 e 4 são o item (a) do exercício PS1.1.

Quadro 2 — a demonstração.

Caso 1: \(\varepsilon_{ijj} = 0\) para todo \(i\), e à direita \(\delta_{jm}\delta_{jn} - \delta_{jn}\delta_{jm} = 0\).

Caso 2: com \(j,k\) fixos e distintos, há um único \(i\) com \(\varepsilon_{ijk}\neq 0\), e o produto é \((\pm 1)^2 = 1\); à direita, \(\delta_{jj}\delta_{kk} - \delta_{jk}\delta_{kj} = 1 - 0 = 1\).

Caso 4 é o mais interessante e por isso vai para a lista: \(\varepsilon_{ijk}\neq 0\) exige \(i \notin \{j,k\}\) e \(\varepsilon_{imn}\neq 0\) exige \(i \notin \{m,n\}\); como \(\{j,k\}\) e \(\{m,n\}\) são subconjuntos distintos de dois elementos de \(\{1,2,3\}\), sua união é todo o conjunto e não existe tal \(i\).

Exercício PS1.1

(a) Verificar os casos 3 e 4 da demonstração do Resultado 1.1.

(b) Usando (a), mostrar que \(\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}\) e \(\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk} = 6\).

(c) Usando o Resultado 1.1, obter \(\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\).

np.einsum('ijk,imn->jkmn', eps, eps)

Cada item pede que se use o resultado do item anterior — derivação guiada, não proof-completion (L1 §2.3). O enunciado completo, com roteiro, está nas notas.

Sobre o einsum: uma frase, não uma explicação. Em U1.L1 a identidade demonstrada aqui é verificada numericamente, e a cadeia de índices do einsum reproduz literalmente a expressão indicial.

04O que é um tensor

Primeira definição: transformação linear

\(\mathbf{T}\) é um tensor de segunda ordem se associa a cada vetor um vetor e é linear: \[\mathbf{T}(\alpha\mathbf{a} + \beta\mathbf{b}) = \alpha\,\mathbf{T}\mathbf{a} + \beta\,\mathbf{T}\mathbf{b}.\]

Exemplos: o tensor identidade, uma projeção ortogonal, uma rotação. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.6)

Motivação antes do formalismo: partir da rotação de um corpo rígido — leva vetor em vetor e preserva o paralelogramo — e só então escrever a definição.

Contraexemplo que vale a pena (Lai, Ex. 2.6.1): a transformação que leva todo vetor num vetor fixo \(\mathbf{n}\) não é tensor. Eles precisam ver uma que falha.

Segunda definição: função bilinear

\(\mathbf{T}\) é uma função bilinear \(\mathbf{T}: \mathfrak{V}\times\mathfrak{V}\to\mathbb{R}\): associa a cada par ordenado de vetores um número real, linearmente em cada argumento.

Esta definição não faz referência a nenhuma base. A independência de coordenadas é, portanto, consequência imediata da definição, e não um teorema a demonstrar. (Ruderman 2019, seç. 2.3)

Este é o único momento do curso em que as duas definições são comparadas (L1 §4.7). Depois daqui, tratadas como equivalentes, sem rediscussão.

Não deixar virar discussão filosófica: 15 min no bloco inteiro. O resultado é o slide seguinte.

Equivalência das duas definições

\[\begin{aligned} &T_{ij} = \mathbf{T}(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j) = \mathbf{e}_i\cdot(\mathbf{T}\mathbf{e}_j) && \text{(as duas definições dão a mesma matriz)}\\[4pt] &\mathbf{T}(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \mathbf{u}\cdot(\mathbf{T}\mathbf{v}) && \text{(relação entre as duas)} \end{aligned}\]

As duas definições produzem o mesmo conjunto de nove componentes. A equivalência é essa igualdade, e não exige demonstração adicional.

Este slide é o resultado do bloco D e a razão de ele existir.

Ruderman define \(T_{ij} = \mathbf{T}(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j)\); Lai define \(T_{ij} = \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{T}\mathbf{e}_j\). É a mesma matriz.

Escrever no Quadro 4, lado a lado, e manter até o fim da aula.

Os dois caminhos, lado a lado

O ponto da animação é a convergência: as duas setas chegam à mesma casa da matriz.

Se a turma acompanhar bem, vale pausar no momento da convergência e perguntar qual das duas definições foi usada para obter o número — a resposta é “qualquer uma”, e é essa a tese do bloco.

Por que o curso usa duas notações

• A notação direta exibe o objeto matemático, sem referência a base.
• A notação indicial exibe as componentes em uma base, e é com elas que se calcula.

Nenhuma das duas é dispensável: a direta não fornece um algoritmo de cálculo; a indicial não exibe a independência de coordenadas.

Enunciar com clareza. Esta é a justificativa do contrato de notação do semestre, e eles vão ouvi-la de novo em cada unidade.

A partir daqui, as duas definições são tratadas como equivalentes, sem rediscussão.

05Componentes

Componentes de um tensor

\[\begin{aligned} &T_{ij} = \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{T}\mathbf{e}_j \qquad (\mathbf{T}\mathbf{v})_i = T_{ij}v_j && \text{(indicial)}\\[4pt] &[\mathbf{T}] \ \text{com } \mathbf{T}\mathbf{e}_j \ \text{na } j\text{-ésima coluna} \qquad [\mathbf{T}\mathbf{v}] = [\mathbf{T}][\mathbf{v}] && \text{(matricial)} \end{aligned}\]

Na base ortonormal \(\{\mathbf{e}_i\}\), a componente \(T_{ij}\) resulta de aplicar \(\mathbf{T}\) ao vetor de base \(\mathbf{e}_j\) e projetar o resultado sobre \(\mathbf{e}_i\). (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.7)

A convenção “coluna \(j\) recebe as componentes de \(\mathbf{T}\mathbf{e}_j\)” não é arbitrária: é ela que faz \([\mathbf{b}] = [\mathbf{T}][\mathbf{a}]\) sair sem transposto. Com a convenção oposta obteríamos \([\mathbf{T}]^{\mathsf T}[\mathbf{a}]\) (Lai, §2.8). Vale 30 segundos.

Transposto, apenas mencionar: \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{T}\mathbf{b} = \mathbf{b}\cdot\mathbf{T}^{\mathsf T}\mathbf{a}\), com componentes \((\mathbf{T}^{\mathsf T})_{ij} = T_{ji}\). Sem rediscussão.

A matriz se preenche uma casa por vez

Chamar atenção para o realce de coluna: a coluna \(j\) inteira é \(\mathbf{T}\mathbf{e}_j\). É a convenção que faz \([\mathbf{b}] = [\mathbf{T}][\mathbf{a}]\) sair sem transposto, e a animação é o lugar onde ela deixa de ser arbitrária.

Quando cada notação é mais econômica

A notação matricial é mais econômica para \((\mathbf{A}\mathbf{B})^{\mathsf T} = \mathbf{B}^{\mathsf T}\mathbf{A}^{\mathsf T}\), que se escreve em uma linha. O mesmo resultado em notação indicial exige acompanhar os índices: \[[(\mathbf{A}\mathbf{B})^{\mathsf T}]_{ij} = (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ji} = A_{jk}B_{ki} = (\mathbf{B}^{\mathsf T})_{ik}(\mathbf{A}^{\mathsf T})_{kj}\]

A notação indicial é mais econômica quando os índices contraídos não são adjacentes.

Escreva \(A_{ij}B_{kj}C_{ik}\) em notação matricial. Resposta: \(\operatorname{tr}(\mathbf{A}^{\mathsf T}\mathbf{C}\mathbf{B}^{\mathsf T})\).

Mostrar a versão matricial primeiro e a indicial depois, para o contraste ficar evidente.

Depois inverter: contrações não adjacentes são onde a forma direta se complica. Deixar a turma tentar 30 segundos antes de revelar a resposta.

Se saírem daqui achando que uma das notações é sempre preferível, a sessão falhou.

06Mudança de base

Tensores ortogonais

\[\begin{aligned} &Q_{im}Q_{jm} = Q_{mi}Q_{mj} = \delta_{ij} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf{Q}\mathbf{Q}^{\mathsf T} = \mathbf{Q}^{\mathsf T}\mathbf{Q} = \mathbf{I} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{Q}^{-1} = \mathbf{Q}^{\mathsf T} && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Demonstração de que \(\det\mathbf{Q} = \pm 1\): \(\det(\mathbf{Q}\mathbf{Q}^{\mathsf T}) = (\det\mathbf{Q})^2 = \det\mathbf{I} = 1\).

Depois da demonstração direta, iniciar a mesma demonstração em notação indicial no quadro e interrompê-la deliberadamente quando ficar trabalhosa. Mais uma linha para o dicionário: o determinante é mais bem tratado na notação direta.

\(\det\mathbf{Q} = +1\) corresponde a rotação; \(-1\) envolve reflexão. Apenas nomear; nada de interpretação física ainda.

Um tensor e suas representações

No alvo impresso entra a figura TikZ, não um quadro do vídeo: ela foi desenhada para impressão e mostra os dois retratos lado a lado, o que um quadro isolado do vídeo não faz.

Quadro 4. Dar 20 segundos de silêncio antes de comentar.

Perguntar à turma o que mudou entre os dois painéis. A resposta desejada é “apenas a base”. Se alguém disser que o tensor mudou, esse é exatamente o mal-entendido que a sessão existe para desfazer.

Dizer em voz alta o que está desenhado, porque o slide não diz: o objeto é o círculo unitário (tracejado) e sua imagem por \(\mathbf{T}\) (azul).

A lei de transformação

Sejam \(\{\mathbf{e}_i\}\) e \(\{\mathbf{e}'_i\}\) duas bases ortonormais, relacionadas pelo tensor ortogonal \(\mathbf{Q}\), com \(\mathbf{e}'_i = Q_{mi}\mathbf{e}_m\), isto é, \(Q_{ij} = \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}'_j\) (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.16–2.18).

\[\begin{aligned} &T'_{ij} = Q_{mi}Q_{nj}\,T_{mn} && \text{(indicial)}\\[4pt] &[\mathbf{T}]' = [\mathbf{Q}]^{\mathsf T}[\mathbf{T}][\mathbf{Q}] && \text{(matricial)} \end{aligned}\]

Um tensor é um objeto definido sem referência a base; sua matriz é a representação desse objeto em uma base. A lei de transformação relaciona as representações de um mesmo tensor em bases distintas.

Fixar a convenção uma única vez e registrá-la no dicionário. Nunca rederivar isto em sessão futura — apontar para o handout.

Distinção que Lai faz e que vale a pena (§2.18): \([\mathbf{T}]' = [\mathbf{Q}]^{\mathsf T}[\mathbf{T}][\mathbf{Q}]\) relaciona duas matrizes do mesmo tensor; \(\mathbf{T}' = \mathbf{Q}^{\mathsf T}\mathbf{T}\mathbf{Q}\) relaciona dois tensores distintos.

Aviso de leitura: Ruderman usa a matriz transposta da de Lai. Está no rodapé do handout.

07Fechamento

Síntese

Exercícios propostos (integram a Lista 1, cuja divulgação segue o calendário):

• PS1.1 — manipulações com \(\varepsilon_{ijk}\) e a identidade \(\varepsilon\)–\(\delta\)
• PS1.2 — unicidade da decomposição \(\mathbf{T} = \mathbf{S} + \mathbf{A}\), com \(\mathbf{S}\) simétrico e \(\mathbf{A}\) antissimétrico

Estudo complementar, não avaliado: Ruderman, problemas 2.1 a 2.6.

Antes do laboratório: instalar o miniforge, conforme instruções nas notas de aula.

Reler o Quadro 1 em voz alta: a pergunta continua sem resposta, deliberadamente.

PS1.2 é auto-contida — usa apenas transposto e linearidade, ferramentas de hoje. Ela prepara a próxima sessão em vez de depender dela.

Ponte para U1.T2: os tensores ganham autovalores, invariantes e derivadas, além de um teorema de integração diretamente ligado ao teorema mencionado no início desta aula.

Referências

Lai, W. Michael, David Rubin, e Erhard Krempl. 2010. Introduction to Continuum Mechanics. 4º ed. Butterworth-Heinemann.

Ruderman, Michael S. 2019. Fluid Dynamics and Linear Elasticity: A First Course in Continuum Mechanics. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer.