U1.T1 — Notação indicial e álgebra tensorial
Sessão U1.T1 · data: ver calendar-map
Esta primeira sessão tem dois objetivos. O primeiro é estabelecer a notação empregada durante todo o curso. O segundo é formular uma questão — por que a mecânica do contínuo precisa de todo esse formalismo tensorial? — que permanecerá em aberto até a Unidade 3.
A notação é dupla: cada resultado em destaque é escrito na forma indicial, seguindo (Lai, Rubin, e Krempl 2010), e na forma direta ou matricial, seguindo (Ruderman 2019). Ao final desta sessão você deve ser capaz de justificar por que nenhuma das duas formas é dispensável.
As leis de balanço da mecânica do contínuo são todas obtidas por um mesmo método: escreve-se um balanço integral sobre um volume material, aplica-se o Teorema do Transporte e o teorema da divergência, e localiza-se o resultado para obter uma equação diferencial. Esse teorema é enunciado e demonstrado em U3.T1. Até lá, as Unidades 1 e 2 constroem a linguagem matemática que ele exige.
A convenção de soma e a consistência dos índices
A regra
Em um monômio, um índice repetido indica soma sobre \(\{1,2,3\}\): \[a_i b_i \;=\; \sum_{i=1}^{3} a_i b_i \;=\; a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 .\] Índices latinos \(i, j, k, m, n\) percorrem sempre \(\{1,2,3\}\).
\[\begin{aligned} &s = a_i b_i && \text{(indicial)}\\[4pt] &s = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathsf T}\mathbf{b} && \text{(direta)} \end{aligned}\]
Índices livres e índices mudos
Um índice que aparece duas vezes em um termo é dito mudo: ele está sendo somado, e a letra que o representa é arbitrária — \(a_i b_i\) e \(a_m b_m\) denotam o mesmo número. Um índice que aparece uma única vez é dito livre; neste caso a letra não é arbitrária, pois deve ser a mesma em todos os termos da equação, e a equação representa três equações escalares.
Três regras de consistência decorrem disso.
- Um índice mudo aparece exatamente duas vezes em cada termo. Três ocorrências não estão definidas na convenção: \(a_ib_ix_i\) não é uma expressão válida. Se essa soma for necessária, o símbolo \(\textstyle\sum\) deve ser reintroduzido explicitamente.
- Um índice livre aparece em todos os termos, sempre representado pela mesma letra. A equação \(a_i + b_i = c_i\) é válida; \(a_i = b_j\) não é.
- Um índice mudo pode ser renomeado; um índice livre não.
A terceira regra é a que mais frequentemente evita erros em derivações. Quando duas expressões são combinadas e uma mesma letra ocorre em ambas por coincidência, é necessário renomear um dos índices antes da substituição. Esse é o procedimento descrito em (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.5), e sua omissão é uma fonte recorrente de erro.
Sejam \(a_i = U_{im}b_m\) e \(b_i = V_{im}c_m\). Para substituir a segunda expressão na primeira, reescreve-se a segunda com índices que não colidam: \(b_m = V_{mn}c_n\). Obtém-se então \[a_i = U_{im}V_{mn}c_n .\] A substituição sem renomeação prévia produziria três ocorrências de \(m\) — expressão inválida.
O delta de Kronecker
\[\delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j\\ 0, & i \neq j\end{cases}\] Em uma base ortonormal, \(\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j = \delta_{ij}\). (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.3)
O delta de Kronecker atua como operador de substituição de índice, e é sob essa forma que ele aparece na maioria das derivações do curso.
\[\begin{aligned} &\delta_{ij}a_j = a_i \qquad \delta_{ij}\delta_{jk} = \delta_{ik} \qquad \delta_{ii} = 3 && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf{I}\mathbf{a} = \mathbf{a} \qquad \mathbf{I}\mathbf{I} = \mathbf{I} \qquad \operatorname{tr}\mathbf{I} = 3 && \text{(direta)} \end{aligned}\]
O índice está repetido e, portanto, somado: \(\delta_{ii} = \delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33} = 3\). Escrever \(\delta_{ii} = 1\) é um erro frequente.
Convenção: bases ortonormais
Salvo menção explícita em contrário, toda base \(\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}\) utilizada neste curso é ortonormal: \[\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j = \delta_{ij}.\]
Esta hipótese não é um detalhe: ela é o que sustenta praticamente tudo o que se segue. É por ser a base ortonormal que se pode
- identificar as componentes de um vetor com projeções, \(a_i = \mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_i\);
- obter as componentes de um tensor por projeção, \(T_{ij} = \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{T}\mathbf{e}_j\);
- descrever a mudança de base por um tensor ortogonal \(\mathbf{Q}\), e escrever a lei de transformação na forma \([\mathbf{T}]' = [\mathbf{Q}]^{\mathsf T}[\mathbf{T}][\mathbf{Q}]\).
Em uma base oblíqua nenhuma dessas simplificações vale: seria necessário distinguir componentes covariantes de contravariantes, e introduzir um tensor métrico para subir e descer índices. A mecânica do contínuo em coordenadas cartesianas dispensa esse aparato, e este curso o dispensa também — mas convém saber que a dispensa é uma escolha, e não uma verdade geral sobre tensores.
As bases ortonormais desta sessão são fixas: os mesmos três vetores em todo ponto do espaço. Em U1.T2 aparecerão bases que continuam ortonormais em cada ponto, mas cuja orientação muda de ponto para ponto. As duas propriedades são independentes, e é a ortonormalidade — não a constância — que as fórmulas acima exigem.
O símbolo de permutação e a identidade ε–δ
Definição e antissimetria
\[\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1, & (i,j,k) \text{ permutação par de } (1,2,3)\\ -1, & (i,j,k) \text{ permutação ímpar de } (1,2,3)\\ 0, & \text{dois ou mais índices iguais} \end{cases}\] (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.4)
O símbolo é totalmente antissimétrico: a troca de qualquer par de índices inverte o sinal, \(\varepsilon_{ijk} = -\varepsilon_{jik}\). Uma consequência de uso frequente: se \(S_{jk}\) é simétrico, isto é, \(S_{jk} = S_{kj}\), então \(\varepsilon_{ijk}S_{jk} = 0\).
Produto vetorial e determinante
\[\begin{aligned} &(\mathbf{a}\times\mathbf{b})_i = \varepsilon_{ijk}\,a_j b_k && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf{a}\times\mathbf{b} && \text{(direta)} \end{aligned}\]
E, para o determinante, \[\det\mathbf{A} = \varepsilon_{ijk}\,A_{1i}A_{2j}A_{3k} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \det[\mathbf{A}] .\]
Nestes dois casos a notação direta apenas nomeia a operação; o cálculo efetivo das componentes é feito na forma indicial. As duas notações não são, portanto, intercambiáveis. Na seção seguinte encontraremos a situação inversa, em que a notação direta é mais econômica. É essa alternância que justifica manter as duas.
A identidade ε–δ
\[\varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\]
Esta identidade converte qualquer produto de dois símbolos de permutação em uma combinação de deltas e, consequentemente, qualquer produto vetorial duplo em produtos escalares. Ela é utilizada em U1.T2, no estudo do vetor dual e do rotacional, e em U5.T2, nas identidades de vorticidade.
Demonstração. Os quatro casos a seguir esgotam todas as escolhas possíveis de \((j,k,m,n)\).
| Caso | Hipótese | \(\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}\) | \(\delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\) |
|---|---|---|---|
| 1 | \(j = k\) ou \(m = n\) | \(0\) | \(0\) |
| 2 | \(j \neq k\) e \((m,n) = (j,k)\) | \(+1\) | \(+1\) |
| 3 | \(j \neq k\) e \((m,n) = (k,j)\) | \(-1\) | \(-1\) |
| 4 | \(j \neq k\), \(m \neq n\) e \(\{m,n\} \neq \{j,k\}\) | \(0\) | \(0\) |
Caso 1. Se \(j = k\), então \(\varepsilon_{ijk} = \varepsilon_{ijj} = 0\) para todo \(i\), e o lado esquerdo se anula. No lado direito, \(\delta_{jm}\delta_{jn} - \delta_{jn}\delta_{jm} = 0\). O argumento para \(m = n\) é análogo.
Caso 2. Com \(j\) e \(k\) fixos e distintos, existe um único valor de \(i\) para o qual \(\varepsilon_{ijk} \neq 0\), a saber, o índice que não pertence a \(\{j,k\}\). Para esse valor, \(\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk} = (\pm 1)^2 = 1\). No lado direito, \(\delta_{jj}\delta_{kk} - \delta_{jk}\delta_{kj} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1\).
Os casos 3 e 4 constituem o item (a) do exercício PS1.1. O caso 4 é o mais instrutivo: para que \(\varepsilon_{ijk} \neq 0\) é necessário que \(i \notin \{j,k\}\), e para que \(\varepsilon_{imn} \neq 0\) é necessário que \(i \notin \{m,n\}\); como \(\{j,k\}\) e \(\{m,n\}\) são subconjuntos distintos de dois elementos de \(\{1,2,3\}\), sua união é o conjunto inteiro, de modo que nenhum valor de \(i\) satisfaz ambas as condições. \(\blacksquare\)
O livro enuncia a identidade contraindo o último índice (eq. 2.4.7): \(\varepsilon_{ijm}\varepsilon_{klm} = \delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}\). Trata-se da mesma identidade, com outra escolha de letras. A forma adotada no curso é a do Resultado 1.1, para a qual estão escritos os corolários do item (b) do PS1.1.
As duas definições de tensor
Um tensor de segunda ordem admite duas definições equivalentes. Ambas são apresentadas aqui, uma única vez, porque cada uma torna evidente um aspecto que a outra deixa implícito.
\(\mathbf{T}\) é um tensor de segunda ordem se associa a cada vetor um vetor, de modo linear: \[\mathbf{T}(\alpha\mathbf{a} + \beta\mathbf{b}) = \alpha\,\mathbf{T}\mathbf{a} + \beta\,\mathbf{T}\mathbf{b} \qquad \forall\, \mathbf{a},\mathbf{b},\ \forall\, \alpha,\beta .\] (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.6)
Esta é a definição empregada nos cálculos ao longo do curso. Exemplos imediatos: o tensor identidade, uma projeção ortogonal e uma rotação de corpo rígido.
Seja \(\mathbf{T}\) a transformação que associa a todo vetor um mesmo vetor fixo \(\mathbf{n} \neq \mathbf{0}\). Então \(\mathbf{T}\mathbf{a} = \mathbf{n}\) e \(\mathbf{T}\mathbf{b} = \mathbf{n}\), mas \(\mathbf{T}(\mathbf{a}+\mathbf{b}) = \mathbf{n} \neq \mathbf{n} + \mathbf{n}\). A transformação não é linear e, portanto, não é um tensor. Adaptado de (Lai, Rubin, e Krempl 2010, Ex. 2.6.1).
\(\mathbf{T}\) é uma função bilinear \(\mathbf{T}: \mathfrak{V}\times\mathfrak{V}\to\mathbb{R}\), isto é, associa a cada par ordenado de vetores um número real, linearmente em cada argumento. (Ruderman 2019, seç. 2.3)
O interesse desta segunda definição é que ela não faz referência a base alguma. Um tensor, assim definido, é desde o início um objeto independente do sistema de coordenadas: a invariância não precisa ser demonstrada, pois não há coordenadas na definição.
Equivalência
\[\begin{aligned} &T_{ij} = \mathbf{T}(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j) = \mathbf{e}_i\cdot(\mathbf{T}\mathbf{e}_j) && \text{(as duas definições dão a mesma matriz)}\\[4pt] &\mathbf{T}(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \mathbf{u}\cdot(\mathbf{T}\mathbf{v}) && \text{(relação entre as duas)} \end{aligned}\]
(Ruderman 2019) define as componentes por \(T_{ij} = \mathbf{T}(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j)\), enquanto (Lai, Rubin, e Krempl 2010) as define por \(T_{ij} = \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{T}\mathbf{e}_j\). As duas definições produzem o mesmo conjunto de nove componentes, e é nisso que consiste a equivalência.
Em componentes, a relação verifica-se em uma linha: \[\mathbf{T}(\mathbf{u},\mathbf{v}) = T_{ij}u_iv_j = u_i\,(T_{ij}v_j) = \mathbf{u}\cdot(\mathbf{T}\mathbf{v}).\]
A partir deste ponto as duas definições são tratadas como equivalentes, sem rediscussão. A definição empregada nos cálculos é a de (Lai, Rubin, e Krempl 2010): um tensor é uma transformação linear, e os cálculos são feitos com suas componentes.
Por que o curso emprega duas notações
A notação direta exibe o objeto matemático sem referência a base; a notação indicial exibe as componentes em uma base, e é com elas que se calcula. Nenhuma das duas é dispensável: a primeira não fornece um algoritmo de cálculo, e a segunda não exibe a independência de coordenadas.
Componentes, transposto e mudança de base
Componentes
\[\begin{aligned} &T_{ij} = \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{T}\mathbf{e}_j \qquad (\mathbf{T}\mathbf{v})_i = T_{ij}v_j && \text{(indicial)}\\[4pt] &[\mathbf{T}] \ \text{com } \mathbf{T}\mathbf{e}_j \text{ na } j\text{-ésima coluna} \qquad [\mathbf{T}\mathbf{v}] = [\mathbf{T}][\mathbf{v}] && \text{(matricial)} \end{aligned}\]
Na base ortonormal \(\{\mathbf{e}_i\}\) — conforme a convenção fixada acima —, a componente \(T_{ij}\) obtém-se aplicando \(\mathbf{T}\) ao vetor de base \(\mathbf{e}_j\) e projetando o resultado sobre \(\mathbf{e}_i\).
A convenção segundo a qual as componentes de \(\mathbf{T}\mathbf{e}_j\) formam a \(j\)-ésima coluna da matriz não é arbitrária: é ela que faz corresponder a equação tensorial \(\mathbf{b} = \mathbf{T}\mathbf{a}\) à equação matricial \([\mathbf{b}] = [\mathbf{T}][\mathbf{a}]\), sem transposto adicional. Com a convenção oposta obter-se-ia \([\mathbf{b}] = [\mathbf{T}]^{\mathsf T}[\mathbf{a}]\) (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.8).
Transposto
\(\mathbf{T}^{\mathsf T}\) é o tensor que satisfaz, para todos \(\mathbf{a}\) e \(\mathbf{b}\), \[\mathbf{a}\cdot\mathbf{T}\mathbf{b} = \mathbf{b}\cdot\mathbf{T}^{\mathsf T}\mathbf{a} \qquad\Longleftrightarrow\qquad (\mathbf{T}^{\mathsf T})_{ij} = T_{ji} .\]
Segue daí que \((\mathbf{A}\mathbf{B})^{\mathsf T} = \mathbf{B}^{\mathsf T}\mathbf{A}^{\mathsf T}\) (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.11).
Economia relativa das duas notações
A notação matricial é mais econômica para \((\mathbf{A}\mathbf{B})^{\mathsf T} = \mathbf{B}^{\mathsf T}\mathbf{A}^{\mathsf T}\), que se escreve em uma linha. O mesmo resultado em notação indicial exige acompanhar os índices: \[[(\mathbf{A}\mathbf{B})^{\mathsf T}]_{ij} = (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ji} = A_{jk}B_{ki} = (\mathbf{B}^{\mathsf T})_{ik}(\mathbf{A}^{\mathsf T})_{kj} = (\mathbf{B}^{\mathsf T}\mathbf{A}^{\mathsf T})_{ij}.\]
A notação indicial é mais econômica em expressões com \(\varepsilon_{ijk}\) e sempre que os índices contraídos não são adjacentes, situação em que a forma matricial exige a introdução de transpostos para aproximá-los.
Escreva \(A_{ij}B_{kj}C_{ik}\) em notação matricial.
Resposta: \(\operatorname{tr}(\mathbf{A}^{\mathsf T}\mathbf{C}\mathbf{B}^{\mathsf T})\). Compare o esforço de obter essa forma com o de escrever a expressão indicial correspondente.
Tensores ortogonais
\[\begin{aligned} &Q_{im}Q_{jm} = Q_{mi}Q_{mj} = \delta_{ij} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf{Q}\mathbf{Q}^{\mathsf T} = \mathbf{Q}^{\mathsf T}\mathbf{Q} = \mathbf{I}, \quad \mathbf{Q}^{-1} = \mathbf{Q}^{\mathsf T} && \text{(direta)} \end{aligned}\]
Um tensor ortogonal preserva comprimentos e ângulos: \(\mathbf{Q}\mathbf{a}\cdot\mathbf{Q}\mathbf{b} = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\) (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.15).
De \(\mathbf{Q}\mathbf{Q}^{\mathsf T} = \mathbf{I}\) segue \((\det\mathbf{Q})(\det\mathbf{Q}^{\mathsf T}) = (\det\mathbf{Q})^2 = 1\), e portanto \[\det\mathbf{Q} = \pm 1 .\]
A demonstração ocupa uma linha na notação direta. Na notação indicial ela é consideravelmente mais trabalhosa, o que fornece mais um exemplo de resultado melhor tratado na forma direta.
A lei de transformação
Sejam \(\{\mathbf{e}_i\}\) e \(\{\mathbf{e}'_i\}\) duas bases ortonormais, relacionadas pelo tensor ortogonal \(\mathbf{Q}\): \[\mathbf{e}'_i = \mathbf{Q}\mathbf{e}_i = Q_{mi}\,\mathbf{e}_m, \qquad\text{isto é,}\qquad Q_{ij} = \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}'_j .\]
\[\begin{aligned} &T'_{ij} = Q_{mi}\,Q_{nj}\,T_{mn} && \text{(indicial)}\\[4pt] &[\mathbf{T}]' = [\mathbf{Q}]^{\mathsf T}\,[\mathbf{T}]\,[\mathbf{Q}] && \text{(matricial)} \end{aligned}\]
\(Q_{ij} = \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}'_j\), conforme (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.16–2.18). Nenhuma sessão posterior redefine ou rededuz esta convenção; todas remetem a esta seção e à tabela de notação.
Um tensor é um objeto definido sem referência a base. Sua matriz é a representação desse objeto em uma base particular. A lei de transformação relaciona as representações de um mesmo tensor em bases distintas — o objeto permanece o mesmo, e apenas suas componentes mudam.
\([\mathbf{T}]' = [\mathbf{Q}]^{\mathsf T}[\mathbf{T}][\mathbf{Q}]\) relaciona duas matrizes de um mesmo tensor \(\mathbf{T}\), em bases distintas.
\(\mathbf{T}' = \mathbf{Q}^{\mathsf T}\mathbf{T}\mathbf{Q}\) relaciona dois tensores distintos, \(\mathbf{T}\) e \(\mathbf{T}'\), na mesma base.
A distinção é feita em (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.18).
Tabela de notação — versão 0.1
A tabela abaixo reúne as correspondências estabelecidas nesta sessão, na ordem em que foram obtidas. Ela é ampliada em U1.T2 com as operações de cálculo tensorial e é encerrada ao fim da Unidade 1.
A versão final e completa da tabela — versão 1.0, com as linhas de estrutura interna e de cálculo tensorial — está na tabela de notação das notas de U1.T2. A tabela abaixo é a versão 0.1, e é preliminar.
| indicial | direta / matricial | observação |
|---|---|---|
| \(a_i b_i\) | \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\) | |
| \(T_{ij} v_j\) | \(\mathbf{T}\mathbf{v}\) | coluna \(j\) = comps. de \(\mathbf{T}\mathbf{e}_j\) |
| \(A_{ij}B_{jk} = C_{ik}\) | \(\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{C}\) | |
| \(A_{ij}B_{ij}\) | \(\operatorname{tr}(\mathbf{A}^{\mathsf T}\mathbf{B})\) | indicial mais econômica |
| \(T_{ii}\) | \(\operatorname{tr}\mathbf{T}\) | |
| \(\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j = \delta_{ij}\) | base ortonormal | convenção do curso |
| \(\delta_{ij}\) | \(\mathbf{I}\) | substitui índice; \(\delta_{ii}=3\) |
| \((\mathbf{T}^{\mathsf T})_{ij} = T_{ji}\) | \(\mathbf{T}^{\mathsf T}\) | Definição 1.6 |
| \(A_{jk}B_{ki}\) | \((\mathbf{A}\mathbf{B})^{\mathsf T} = \mathbf{B}^{\mathsf T}\mathbf{A}^{\mathsf T}\) | matricial mais econômica |
| \(\varepsilon_{ijk}a_jb_k\) | \((\mathbf{a}\times\mathbf{b})_i\) | |
| \(\varepsilon_{ijk}A_{1i}A_{2j}A_{3k}\) | \(\det[\mathbf{A}]\) | a forma direta apenas nomeia |
| \(\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}\) | — | Resultado 1.1; sem forma direta |
| \(A_{ij}B_{kj}C_{ik}\) | \(\operatorname{tr}(\mathbf{A}^{\mathsf T}\mathbf{C}\mathbf{B}^{\mathsf T})\) | contração não adjacente |
| \(Q_{im}Q_{jm} = \delta_{ij}\) | \(\mathbf{Q}\mathbf{Q}^{\mathsf T} = \mathbf{I}\) | \(\det\mathbf{Q} = \pm 1\) |
| \(T'_{ij} = Q_{mi}Q_{nj}T_{mn}\) | \([\mathbf{T}]' = [\mathbf{Q}]^{\mathsf T}[\mathbf{T}][\mathbf{Q}]\) | convenção fixada em §5.4 |
Esta tabela não é a tabela de correspondência com Bird, Stewart & Lightfoot. Ela relaciona as duas notações adotadas no curso. A partir de U4.T1 haverá uma segunda tabela, destinada à correspondência com a convenção de sinais empregada naquele texto — documentos distintos, com finalidades distintas.
(Ruderman 2019, seç. 2.6) adota a matriz transposta da de (Lai, Rubin, e Krempl 2010). Aquele texto define \(a_{ij} = \mathbf{e}'_i\cdot\mathbf{e}_j\), que é a transposta de \(Q_{ij}\). As leis de transformação nos dois livros são equivalentes, mas a combinação das duas convenções em um mesmo cálculo produz um resultado transposto. O curso adota a convenção de (Lai, Rubin, e Krempl 2010).
Exercícios propostos
Os dois exercícios abaixo integram a Lista 1, cuja divulgação segue o calendário da disciplina.
(a) Verifique os casos 3 e 4 da demonstração do Resultado 1.1, apresentados na tabela daquela demonstração. Justifique, em cada caso, por que ambos os lados assumem o valor indicado.
(b) Usando o resultado de (a), mostre que \[\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\,\delta_{kn} \qquad\text{e}\qquad \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk} = 6 .\] Sugestão: faça \(m = j\) no Resultado 1.1 e some sobre \(j\); em seguida repita a operação sobre a expressão obtida.
(c) Usando o Resultado 1.1, e não argumentos geométricos, mostre que \[\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).\] Sugestão: escreva o lado esquerdo em componentes, com dois símbolos de permutação; aplique o Resultado 1.1; use os deltas resultantes para substituir índices.
Um tensor \(\mathbf{S}\) é simétrico se \(\mathbf{S}^{\mathsf T} = \mathbf{S}\), e \(\mathbf{A}\) é antissimétrico se \(\mathbf{A}^{\mathsf T} = -\mathbf{A}\).
(a) Mostre que todo tensor \(\mathbf{T}\) admite a decomposição \(\mathbf{T} = \mathbf{S} + \mathbf{A}\), com \(\mathbf{S}\) simétrico e \(\mathbf{A}\) antissimétrico. Sugestão: some e subtraia \(\tfrac12\mathbf{T}^{\mathsf T}\).
(b) Mostre que essa decomposição é única. Sugestão: suponha \(\mathbf{S}_1 + \mathbf{A}_1 = \mathbf{S}_2 + \mathbf{A}_2\), transponha a igualdade e combine as duas expressões.
(c) Escreva \(\mathbf{S}\) e \(\mathbf{A}\) em componentes. Quantas componentes independentes possui cada um?
Este exercício utiliza apenas o transposto e a linearidade, introduzidos nesta sessão.
Estudo complementar, não avaliado. (Ruderman 2019), problemas 2.1 a 2.6. As soluções completas encontram-se no próprio livro (Apêndice A, §A.2); por essa razão, tais problemas são indicados como estudo dirigido e não como exercícios avaliados.
Apêndice — instalação do miniforge
O laboratório da Unidade 1 pressupõe o ambiente computacional já instalado. O ambiente completo, com as versões fixadas, é distribuído no próprio laboratório; esta etapa prévia consiste apenas em instalar o gerenciador.
Obtenha o instalador correspondente ao seu sistema operacional em https://github.com/conda-forge/miniforge#download (Windows: arquivo
.exe; macOS e Linux: arquivo.sh).Execute a instalação aceitando as opções padrão. No Windows, não marque a opção de adicionar ao
PATH; utilize o Miniforge Prompt criado pelo instalador.Abra um novo terminal — ou o Miniforge Prompt — e verifique a instalação:
conda --versionA impressão de um número de versão indica que a instalação foi bem-sucedida. O miniforge instala também o comando
mamba, que resolve dependências mais depressa e aceita os mesmos argumentos; o laboratório usacondanos roteiros, e os dois produzem o mesmo resultado.
Caso a verificação falhe, registre a mensagem de erro e traga-a para o laboratório, no qual há tempo reservado para a resolução desses problemas. A causa mais frequente de falha, em Windows, é a sincronização da pasta do usuário pelo OneDrive; a instalação em C:\miniforge3 resolve o problema.