U2.T1 — Descrições do movimento e derivada material
Sessão U2.T1 · data: ver calendar-map
A Unidade 1 construiu a linguagem: o que é um tensor, como suas componentes mudam de base, como campos variam no espaço. Nada nela se movia. Esta sessão abre a cinemática do contínuo — a descrição do movimento de um meio contínuo, ainda sem forças. As forças entram na Unidade 3; a ordem é deliberada, porque as leis de balanço da Unidade 3 são escritas com os objetos que esta unidade constrói.
A sessão instala dois deles. O primeiro é o par de descrições do movimento: seguir uma partícula, ou ficar num lugar e ver o material passar. O segundo é a derivada material, o operador que converte uma leitura na outra. Sem esses dois, o enunciado central do curso, que chega em U3.T1, não é sequer legível.
Duas leituras do mesmo rio
Considere dois termômetros idênticos instalados no mesmo rio.
O primeiro está aparafusado no pilar de uma ponte. Ele não sai do lugar. A cada instante ele mede a temperatura da água que passa naquele ponto, e essa água é outra a cada instante.
O segundo viaja numa boia à deriva. Ele acompanha sempre a mesma porção de água. A cada instante ele mede a temperatura da porção que ele acompanha, e essa porção está a cada instante num lugar diferente.
Os dois registram uma função do tempo. As duas funções são, em geral, diferentes — e a diferença não é ruído de medição: os dois instrumentos medem grandezas distintas. Para que a afirmação não fique no plano da retórica, ela é feita sobre um rio concreto.
Suponha o escoamento uniforme, com velocidade \(U\) na direção do eixo \(x\), e a temperatura dada por \[\theta(x, t) = \theta_0 + G\,x + H\,t + A\,\sin\left(k\,(x - U t)\right),\] com constantes positivas \(G\), \(H\) e \(A\). São três parcelas, com papéis distintos.
- \(G\,x\) depende de \(x\) e não depende de \(t\). Ela contribui com a constante \(G\) para \(\partial\theta/\partial x\): em qualquer instante, a temperatura cresce com \(x\) por causa desta parcela.
- \(H\,t\) depende de \(t\) e não depende de \(x\). Ela acrescenta, a cada instante, o mesmo valor em todos os pontos do rio.
- \(A\,\sin\left(k(x - Ut)\right)\) depende de \(x\) e de \(t\) apenas pela combinação \(x - Ut\). Uma consequência disso será usada o tempo todo, e vale enunciá-la: se um ponto se move com velocidade \(U\), isto é, se \(x(t) = x_0 + Ut\), então \(x(t) - Ut = x_0\) é constante, e esta parcela vale \(A\sin(k x_0)\) para sempre. Dito de outro modo: o perfil desta parcela avança com velocidade \(U\), sem mudar de forma, e quem viaja com velocidade \(U\) não a vê variar.
Com esse campo, as duas leituras podem ser escritas, e não há o que discutir sobre elas.
O termômetro fixo, na posição \(x_f\), registra \[\theta(x_f, t) = \theta_0 + G\,x_f + H\,t + A\,\sin\left(k\,x_f - k U t\right).\] Ele sobe à taxa \(H\) e, ao mesmo tempo, oscila. A oscilação vem do último termo: o argumento do seno, \(k\,x_f - kUt\), depende de \(t\), porque \(x_f\) é fixo e o tempo corre. Descontada a subida \(H\,t\), o que resta é periódico, de período \(2\pi/(kU)\).
O termômetro da boia parte de \(x_{b}\) e é levado pelo escoamento, de modo que sua posição no instante \(t\) é \(x_{b} + U t\). Substituindo, \[\theta(x_{b} + U t,\, t) = \theta_0 + G\,x_{b} + \left(G U + H\right) t + A\,\sin\left(k\,x_{b}\right).\] É uma função afim do tempo — isto é, do primeiro grau — de inclinação \(G U + H\), e não oscila: o argumento do seno vale \(k\,x_b\), que não depende de \(t\), pelo motivo enunciado no item 3 acima. Ela sobe por duas causas somadas. Uma é o aquecimento uniforme \(H\), que qualquer ponto do rio sofre, parado ou não. A outra é \(GU\): a boia percorre a distância \(U t\) e, ao longo dela, a parcela \(G\,x\) cresce.
Entre os dois instantes retratados na figura, o termômetro do pilar esfria e o da boia esquenta. Os instrumentos são idênticos, o rio é o mesmo, os sinais são opostos, e nenhum dos dois está com defeito. A separação entre as duas inclinações — \(H\) de um lado, \(GU + H\) do outro — tem nome, e o nome aparece na seção da derivada material.
Como a leitura do medidor fixo se relaciona com o que a partícula sente?
A resposta tem nome, e é o Resultado 2.1 desta sessão. Ela ocupa uma linha, e essa linha reaparece em quase todas as equações do restante do curso.
O movimento e as duas descrições
Rotular partículas
Na cinemática do ponto material, uma partícula é acompanhada por sua posição \(\mathbf x(t)\), e pronto: há uma partícula, ou um número finito delas, e cada uma pode receber um número. Num contínuo há infinitas partículas, e a numeração deixa de ser possível. É preciso outro rótulo.
O rótulo adotado é a posição ocupada num instante de referência. Fixa-se o instante \(t = 0\); a região ocupada pelo corpo nesse instante é a configuração de referência; e a partícula que estava no ponto \(\mathbf X\) passa a ser chamada, para sempre, de “a partícula \(\mathbf X\)”. O rótulo é um ponto do espaço, mas usado como nome próprio: ele identifica material, não lugar. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.1)
Seja \(\mathbf X\) a posição, no instante de referência \(t = 0\), de uma partícula do corpo. O movimento do corpo é a família de funções que dá a posição espacial \(\mathbf x\) dessa partícula em cada instante \(t\):
\[\begin{aligned} &x_i = x_i(X_1, X_2, X_3, t) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf x = \mathbf x(\mathbf X, t) && \text{(direta)} \end{aligned}\]
As coordenadas \((X_1, X_2, X_3)\) são as coordenadas materiais da partícula, e as coordenadas \((x_1, x_2, x_3)\) são as suas coordenadas espaciais no instante \(t\).
O rótulo é normalizado pela condição \[x_i(X_1, X_2, X_3, 0) = X_i \qquad \leftrightarrow \qquad \mathbf x(\mathbf X, 0) = \mathbf X ,\] que afirma apenas que, no instante de referência, cada partícula está onde seu rótulo diz.
As duas hipóteses sobre o movimento
Duas hipóteses acompanham a Definição 2.1 em todo o curso, e são ditas aqui uma única vez.
Suavidade. As funções \(x_i(\mathbf X, t)\) são continuamente diferenciáveis tantas vezes quantas cada passo exigir. É essa hipótese que autoriza derivar o movimento em relação a \(t\), e derivar em relação a \(\mathbf X\) na sessão seguinte.
Invertibilidade. Para cada \(t\) fixo, o mapa \(\mathbf X \mapsto \mathbf x\) é biunívoco: uma partícula por lugar, um lugar por partícula. Duas partículas distintas nunca ocupam o mesmo ponto, e nenhuma partícula se parte em duas. Em consequência, o movimento pode ser invertido, \[X_i = X_i(x_1, x_2, x_3, t) \qquad \leftrightarrow \qquad \mathbf X = \mathbf X(\mathbf x, t),\] e essa inversa é a ferramenta que permite dizer qual partícula está, agora, em um ponto dado. (Ruderman 2019, seç. 3.1)
A invertibilidade está aqui como hipótese qualitativa: o movimento é invertível, e ponto. Ela admite uma medida quantitativa — um número que se calcula a partir do movimento e cujo sinal decide se a hipótese vale numa vizinhança. Esse número é construído em U2.T2, junto com o objeto que o gera, e é usado nominalmente a partir de U4.T1. Aqui ele não é necessário: nenhum resultado desta sessão precisa de mais do que a hipótese qualitativa.
As duas descrições de um mesmo campo
Seja \(\Phi\) uma grandeza qualquer definida sobre o corpo: temperatura, densidade, uma componente de velocidade. Ela pode ser apresentada de duas maneiras, e a distinção entre elas é o assunto central desta sessão.
A descrição material de \(\Phi\) é a função \(\hat\Phi(\mathbf X, t)\): dado o rótulo de uma partícula e um instante, ela devolve o valor de \(\Phi\) para aquela partícula.
A descrição espacial de \(\Phi\) é a função \(\Phi(\mathbf x, t)\): dado um ponto do espaço e um instante, ela devolve o valor de \(\Phi\) para a partícula que ocupa aquele ponto naquele instante. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.2)
O acento circunflexo é o que distingue as duas funções; ele é necessário porque elas são funções diferentes, ainda que descrevam a mesma grandeza física. A ponte entre elas é a composição com o movimento:
\[\begin{aligned} &\hat\Phi(\mathbf X, t) = \Phi\big(x_1(\mathbf X,t),\, x_2(\mathbf X,t),\, x_3(\mathbf X,t),\, t\big) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\hat\Phi(\mathbf X, t) = \Phi\big(\mathbf x(\mathbf X, t),\, t\big) && \text{(direta)} \end{aligned}\]
Lida da esquerda para a direita, a igualdade diz: para saber o que a partícula \(\mathbf X\) sente em \(t\), descubra onde ela está e leia o campo espacial ali. Lida da direita para a esquerda, e usando a inversa do movimento, ela converte uma descrição espacial em material. As duas conversões são usadas o tempo todo.
Dois detalhes da figura merecem atenção, porque nos dois casos o desenho poderia sugerir algo falso.
O primeiro é a origem única. Não há dois espaços, um de referência e outro atual: há um só espaço e um só referencial, e o corpo ocupa nele duas regiões diferentes, em dois instantes diferentes. Os vetores \(\mathbf X\) e \(\mathbf x\) partem do mesmo ponto \(O\), e é por isso que faz sentido subtraí-los, o que será feito na Definição 2.6.
O segundo é a forma das regiões. Elas foram desenhadas convexas e com fronteira poligonal por um motivo: os teoremas que as sessões seguintes aplicam a um corpo — a começar pelo teorema da divergência de U1.T2 — exigem que a fronteira admita normal exterior em quase todo ponto. Uma fronteira poligonal cumpre isso: a normal existe em todos os pontos, exceto nos vértices, que são em número finito. Quinas são, portanto, admissíveis; pontas infinitamente finas e fendas não seriam, e por isso não há nenhuma na figura.
A figura reaparece, sem alterações, em U2.T2 e em U3.T1. Vale reconhecê-la quando ela voltar.
Velocidade e aceleração de uma partícula
Com o rótulo material fixo, o movimento é uma curva no espaço, e derivá-la em relação ao tempo é a operação elementar da cinemática do ponto.
A velocidade e a aceleração da partícula \(\mathbf X\) são as derivadas parciais do movimento em relação ao tempo, com \(\mathbf X\) mantido fixo:
\[\begin{aligned} &v_i = \left.\frac{\partial x_i}{\partial t}\right|_{\mathbf X}, \qquad a_i = \left.\frac{\partial^2 x_i}{\partial t^2}\right|_{\mathbf X} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf v = \left.\frac{\partial \mathbf x}{\partial t}\right|_{\mathbf X}, \qquad\ \ \, \mathbf a = \left.\frac{\partial^2 \mathbf x}{\partial t^2}\right|_{\mathbf X} && \text{(direta)} \end{aligned}\]
A notação \(|_{\mathbf X}\) não é decorativa. Ela registra que a derivada é tomada sobre a mesma partícula, e é exatamente essa escolha que a distingue da derivada que um medidor fixo executaria. Toda a sessão gira em torno dessa diferença.
Assim definidas, velocidade e aceleração saem na descrição material: são funções de \((\mathbf X, t)\). Mas em mecânica dos fluidos raramente se conhece o movimento \(\mathbf x(\mathbf X, t)\); o que se conhece, ou o que se procura, é o campo de velocidade \(\mathbf v(\mathbf x, t)\), na descrição espacial. A próxima seção resolve a tensão entre esses dois fatos.
Origem dos nomes
A descrição espacial é também chamada de euleriana, e a material de lagrangiana ou de referência. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.2)
Convém não ler esses nomes como atribuição de autoria. Eles são convenções consagradas, e os dois pontos de vista já circulavam na hidrodinâmica do século XVIII. Estas notas não fazem afirmação histórica mais forte do que essa.
A moral não é de erudição, e sim de método: os nomes designam pontos de vista, não autores. O que a sessão exige é saber em qual ponto de vista se está a cada linha, e saber trocar de um para o outro sem erro. Por essa razão estas notas usam, sempre que houver risco de ambiguidade, os adjetivos material e espacial, que dizem o que fazem.
A derivada material
O que se quer calcular
O campo de velocidade de um escoamento é conhecido na descrição espacial: \(\mathbf v(\mathbf x, t)\). O mesmo vale para a temperatura, a densidade e qualquer outra grandeza medida por instrumentos fixos. Uma partícula, porém, não fica num ponto. Se a pergunta é o que ela sente, a leitura do campo espacial no seu ponto atual não basta: no instante seguinte ela estará em outro ponto, e o campo ali pode valer outra coisa mesmo que nada varie no tempo.
A operação que se quer é, portanto: tomar um campo espacial, seguir com ele uma partícula, e derivar em relação ao tempo. Ela recebe símbolo próprio.
Seja \(\Phi(\mathbf x, t)\) um campo na descrição espacial e \(\hat\Phi(\mathbf X, t)\) a sua descrição material. A derivada material de \(\Phi\) é \[\frac{D\Phi}{Dt} := \left.\frac{\partial \hat\Phi}{\partial t}\right|_{\mathbf X} \qquad \text{(igual nas duas notações)},\] isto é, a taxa de variação de \(\Phi\) medida acompanhando a partícula. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.3)
Note-se que a definição é imediata na descrição material — ali basta derivar com \(\mathbf X\) fixo. O que ela não fornece é uma receita em termos do campo espacial, que é o que se conhece. Obtê-la é o objetivo do que segue.
Derivação guiada
Parte-se da ponte entre as duas descrições e aplica-se a regra da cadeia.
Passo 1. Escreva a descrição material como composição do campo espacial com o movimento: \[\hat\Phi(\mathbf X, t) = \Phi\big(x_1(\mathbf X, t),\, x_2(\mathbf X, t),\, x_3(\mathbf X, t),\, t\big).\] O lado direito depende de \(t\) por dois caminhos: pelo último argumento, e por cada um dos três primeiros.
Passo 2. Derive em relação a \(t\) com \(\mathbf X\) fixo. A regra da cadeia produz um termo por caminho de dependência, e são quatro: \[\left.\frac{\partial \hat\Phi}{\partial t}\right|_{\mathbf X} = \frac{\partial \Phi}{\partial t} + \frac{\partial \Phi}{\partial x_1}\left.\frac{\partial x_1}{\partial t}\right|_{\mathbf X} + \frac{\partial \Phi}{\partial x_2}\left.\frac{\partial x_2}{\partial t}\right|_{\mathbf X} + \frac{\partial \Phi}{\partial x_3}\left.\frac{\partial x_3}{\partial t}\right|_{\mathbf X} .\] No primeiro termo, as três coordenadas espaciais estão fixas: ele é a derivada que o medidor fixo registra.
Passo 3. Os três últimos termos têm a mesma forma, e a soma sobre eles é exatamente a convenção de Einstein em ação: \[\left.\frac{\partial \hat\Phi}{\partial t}\right|_{\mathbf X} = \frac{\partial \Phi}{\partial t} + \frac{\partial \Phi}{\partial x_j}\left.\frac{\partial x_j}{\partial t}\right|_{\mathbf X} .\]
Passo 4. O fator \(\partial x_j/\partial t|_{\mathbf X}\) já tem nome: pela Definição 2.3, ele é a componente \(v_j\) da velocidade da partícula. É aqui que a velocidade entra no cálculo — por definição, e não por hipótese adicional. Substituindo, e usando a Definição 2.4 no lado esquerdo, obtém-se o resultado.
Para todo campo \(\Phi\) na descrição espacial, com movimento suave e invertível,
\[\begin{aligned} &\frac{D\Phi}{Dt} = \frac{\partial \Phi}{\partial t} + v_j\,\frac{\partial \Phi}{\partial x_j} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\frac{D\Phi}{Dt} = \partial_t \Phi + \left(\mathbf v\cdot\nabla\right)\Phi && \text{(direta)} \end{aligned}\]
O Resultado 2.1 vale com \(\Phi\) escalar, e vale componente a componente com \(\Phi\) vetorial ou tensorial: a derivação acima não usou nada da natureza de \(\Phi\) além de sua diferenciabilidade.
Como ler o Resultado 2.1
A igualdade tem dois termos do lado direito, e cada um tem leitura física própria.
O primeiro, \(\partial \Phi/\partial t\), é a variação local: o que o medidor parafusado na ponte registra. Ele é nulo quando o campo não depende explicitamente do tempo.
O segundo, \(v_j\,\partial\Phi/\partial x_j\), é a variação advectiva: a correção devida ao fato de a partícula estar sendo carregada através de uma região onde \(\Phi\) varia de ponto a ponto. Ele é nulo quando a partícula está parada, e também quando ela se move ao longo de uma direção em que \(\Phi\) não varia.
Isto responde a pergunta da sessão. A leitura do medidor fixo é o primeiro termo; o que a partícula sente é a soma dos dois; e a diferença entre as duas leituras é o termo advectivo. Ele se anula em dois casos, e apenas neles: quando a partícula está parada, e quando ela se move ao longo de uma direção em que \(\Phi\) não varia.
O rio da abertura, resolvido
A cena da primeira seção pode agora ser fechada. Aplique o Resultado 2.1 ao campo de temperatura de lá, com \(\mathbf v = U\,\mathbf e_1\). As duas parcelas são \[\begin{aligned} \frac{\partial \theta}{\partial t} &= H - A\,kU\,\cos\left(k(x - Ut)\right),\\[4pt] v_j\frac{\partial \theta}{\partial x_j} = U\frac{\partial \theta}{\partial x} &= GU + A\,kU\,\cos\left(k(x - Ut)\right), \end{aligned}\] e a soma delas é
\[\begin{aligned} &\frac{D\theta}{Dt} = \frac{\partial \theta}{\partial t} + v_j\,\frac{\partial \theta}{\partial x_j} = H + GU && \text{(indicial)}\\[4pt] &\frac{D\theta}{Dt} = \partial_t\theta + (\mathbf v\cdot\nabla)\theta = H + GU && \text{(direta)} \end{aligned}\]
O resultado é constante, em todo ponto e em todo instante — e é exatamente a inclinação \(GU + H\) do registro da boia, obtida na primeira seção por outro caminho, sem derivada material alguma.
Vale reparar no que se cancelou. Cada uma das duas parcelas oscila, com a mesma amplitude \(A\,kU\) e sinais opostos. Num ponto fixo do rio, portanto, nem a variação local nem a advectiva são constantes; a soma das duas é. O que a partícula sente é mais simples do que qualquer das duas causas isoladas.
As duas parcelas assumem valores particularmente simples ao longo da trajetória de uma boia que parta de uma crista da perturbação, onde o cosseno se anula: ali a variação local vale \(H\) e a advectiva vale \(GU\), as duas constantes. É o caso desenhado na figura da abertura.
O caso \(\Phi = \mathbf v\): aceleração em coordenadas espaciais
O caso mais usado do Resultado 2.1 é aquele em que o campo derivado é a própria velocidade. Aplicando o resultado a cada componente \(v_i\) do campo espacial de velocidade, e observando que \(\left.\partial \hat v_i/\partial t\right|_{\mathbf X} = a_i\) pela Definição 2.3, obtém-se a aceleração de uma partícula escrita inteiramente em termos do campo espacial.
Se o campo de velocidade é conhecido na descrição espacial, a aceleração da partícula que ocupa o ponto \(\mathbf x\) no instante \(t\) é
\[\begin{aligned} &a_i = \frac{\partial v_i}{\partial t} + v_j\,\frac{\partial v_i}{\partial x_j} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf a = \partial_t \mathbf v + \left(\mathbf v\cdot\nabla\right)\mathbf v && \text{(direta)} \end{aligned}\]
Este é o resultado que torna a mecânica dos fluidos possível na descrição espacial: ele fecha o cálculo da aceleração sem exigir que se conheça o movimento \(\mathbf x(\mathbf X, t)\), que quase nunca se conhece.
O segundo termo, \(v_j\,\partial v_i/\partial x_j\), é quadrático em \(\mathbf v\): a velocidade aparece nele duas vezes, uma como fator e outra dentro da derivada. Um campo de velocidade que seja soma de duas soluções não produz, por isso, uma aceleração que seja a soma das duas acelerações.
Este único termo é a origem da não linearidade das equações de movimento dos fluidos. Ele é o lado esquerdo, ainda sem forças, da equação que aparece em U6.T1; o formato foi antecipado em L1 como exemplo de canônico duplo, e volta lá idêntico. A partir daqui, toda dificuldade analítica e numérica do curso que não vier da geometria vem deste termo.
Duas lacunas, deliberadamente abertas
A derivação acima usou duas hipóteses sem verificá-las, e vale dizer quais são.
- A regra da cadeia do Passo 2 exige que \(\Phi\) seja diferenciável nas quatro variáveis e que o movimento seja diferenciável em \(t\).
- Para que o resultado seja útil como fórmula espacial, é preciso poder ir de \(\mathbf x\) para \(\mathbf X\) — isto é, usar a inversa do movimento. A derivada foi tomada com \(\mathbf X\) fixo; é a inversa que diz qual partícula ocupa o ponto \(\mathbf x\) no instante \(t\), e portanto o que o resultado significa quando lido como campo em \((\mathbf x, t)\).
As duas lacunas são fechadas no item (a) de PS1.5, num caso concreto e com roteiro. Elas não são detalhe técnico: um movimento que perde a invertibilidade num instante é um movimento em que a descrição espacial deixa de fazer sentido naquele instante.
O campo-exemplo da Unidade 2
Todo o restante desta sessão, e o bloco correspondente de U2.T2, usam um único campo de velocidade. Ele é fixado aqui, com nome, para poder ser citado depois.
Considere o campo de velocidade plano \[v_1 = \alpha\,x_2, \quad v_2 = \beta\,t, \quad v_3 = 0 \qquad \leftrightarrow \qquad \mathbf v = \alpha\,x_2\,\mathbf e_1 + \beta\,t\,\mathbf e_2,\] com constantes \(\alpha > 0\), de dimensão de inverso de tempo, e \(\beta > 0\), de dimensão de aceleração. O campo está definido em todo o plano \((x_1, x_2)\) e para \(t \geq 0\).
Ele é o cisalhamento simples de (Lai, Rubin, e Krempl 2010, Ex. 3.1.1) acrescido de um arraste transversal que cresce com o tempo. O primeiro termo faz camadas horizontais deslizarem umas sobre as outras; o segundo empurra todo o material para cima, cada vez mais depressa.
O campo depende explicitamente de \(t\), através de \(v_2\). Essa é a propriedade que o torna útil aqui: com ela, os dois retratos da próxima seção saem visivelmente diferentes.
A aceleração, componente a componente
Aplique o Resultado 2.2. Na forma indicial, escrevendo a soma em \(j\) por extenso: \[a_1 = \underbrace{\frac{\partial v_1}{\partial t}}_{0} + v_1\underbrace{\frac{\partial v_1}{\partial x_1}}_{0} + v_2\underbrace{\frac{\partial v_1}{\partial x_2}}_{\alpha} = \beta t\cdot\alpha = \alpha\beta\,t ,\] \[a_2 = \underbrace{\frac{\partial v_2}{\partial t}}_{\beta} + v_1\underbrace{\frac{\partial v_2}{\partial x_1}}_{0} + v_2\underbrace{\frac{\partial v_2}{\partial x_2}}_{0} = \beta , \qquad a_3 = 0 .\]
Na forma direta, o mesmo cálculo em duas parcelas: \[\begin{aligned} \partial_t\mathbf v &= \beta\,\mathbf e_2 ,\\[4pt] \left(\mathbf v\cdot\nabla\right)\mathbf v &= \left(\alpha x_2\,\frac{\partial}{\partial x_1} + \beta t\,\frac{\partial}{\partial x_2}\right) \left(\alpha x_2\,\mathbf e_1 + \beta t\,\mathbf e_2\right) = \alpha\beta\,t\,\mathbf e_1 , \end{aligned}\] de modo que \(\mathbf a = \alpha\beta\,t\,\mathbf e_1 + \beta\,\mathbf e_2\). As duas contas coincidem, como devem. Escrever nas duas notações não é redundância burocrática: é uma verificação barata, que apanha erro de índice.
Repare na primeira componente. A velocidade \(v_1 = \alpha x_2\) não depende do tempo: um medidor fixo num ponto qualquer registra sempre o mesmo \(v_1\), e conclui que nada acelera na direção \(x_1\).
E, no entanto, \(a_1 = \alpha\beta t \neq 0\) para \(t > 0\). As partículas aceleram nessa direção, porque o arraste transversal as leva continuamente para camadas mais altas, onde \(v_1\) é maior. A aceleração está inteiramente no termo advectivo.
O medidor fixo e a partícula discordam, e o Resultado 2.1 diz exatamente por quanto.
O movimento correspondente
O campo-exemplo é simples o bastante para que o movimento possa ser obtido em forma fechada, o que permite conferir tudo por um segundo caminho.
Uma partícula rotulada \(\mathbf X\) satisfaz \(\left.\partial x_i/\partial t\right|_{\mathbf X} = v_i(\mathbf x, t)\), com \(\mathbf x = \mathbf X\) em \(t = 0\). A segunda equação não envolve \(x_1\) e integra-se de imediato; a primeira usa o resultado da segunda: \[\left.\frac{\partial x_2}{\partial t}\right|_{\mathbf X} = \beta t \ \Longrightarrow\ x_2 = X_2 + \tfrac12\beta t^2 ,\] \[\begin{aligned} \left.\frac{\partial x_1}{\partial t}\right|_{\mathbf X} &= \alpha x_2 = \alpha\left(X_2 + \tfrac12\beta t^2\right)\\[4pt] &\Longrightarrow\ \ x_1 = X_1 + \alpha X_2\,t + \tfrac16\alpha\beta\,t^3 . \end{aligned}\]
O movimento é, portanto, \[x_1 = X_1 + \alpha X_2\,t + \tfrac16\alpha\beta\,t^3, \qquad x_2 = X_2 + \tfrac12\beta\,t^2, \qquad x_3 = X_3 ,\] e ele é invertível para todo \(t\), com inversa \[X_1 = x_1 - \alpha t\,x_2 + \tfrac13\alpha\beta\,t^3, \qquad X_2 = x_2 - \tfrac12\beta\,t^2, \qquad X_3 = x_3 .\]
A verificação. Derivando o movimento duas vezes em relação a \(t\) com \(\mathbf X\) fixo, como manda a Definição 2.3, \[a_1 = \left.\frac{\partial^2 x_1}{\partial t^2}\right|_{\mathbf X} = \alpha\beta\,t , \qquad a_2 = \left.\frac{\partial^2 x_2}{\partial t^2}\right|_{\mathbf X} = \beta .\] São os mesmos valores obtidos pelo Resultado 2.2, por um caminho independente: o primeiro cálculo partiu do campo espacial e nunca viu o movimento; o segundo partiu do movimento e nunca viu o Resultado 2.2.
Linhas de corrente e trajetórias
Um escoamento pode ser desenhado de duas maneiras, e as duas figuras são diferentes. Esta seção define as duas curvas, dá o critério exato para que elas coincidam, e mostra as duas famílias para o campo-exemplo.
A trajetória da partícula que está em \(\mathbf x_0\) no instante \(t_0\) é a curva percorrida por essa partícula à medida que o tempo corre.
A linha de corrente do instante \(t_0\) que passa por \(\mathbf x_0\) é a curva que, em cada um de seus pontos, é tangente ao campo de velocidade congelado naquele instante. (Ruderman 2019, seç. 3.2)
As duas curvas são soluções de problemas de valor inicial, e a diferença entre elas está inteiramente no papel de \(t\):
\[\begin{aligned} &\frac{dx_i}{dt} = v_i(\mathbf x, t), \qquad\quad\ \ \frac{dx_i}{ds} = v_i(\mathbf x, t_0) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\frac{d\mathbf x}{dt} = \mathbf v(\mathbf x, t), \qquad\quad \frac{d\mathbf x}{ds} = \mathbf v(\mathbf x, t_0) && \text{(direta)} \end{aligned}\]
À esquerda, a trajetória: \(t\) é a variável independente, e o tempo corre de verdade. À direita, a linha de corrente: \(t_0\) é um parâmetro fixo, o tempo está congelado, e a curva é percorrida por um parâmetro auxiliar \(s\) que não é tempo. Um instante diferente produz, em geral, uma família diferente de linhas de corrente.
As duas equações acima usam \(d/dt\) e \(d/ds\), e não \(D/Dt\). Isso é correto: a incógnita \(\mathbf x(t)\) é a posição de uma partícula, uma função só de \(t\), e não um campo definido em todos os pontos do espaço. Onde não há dependência espacial, não há ambiguidade a resolver, e a derivada ordinária basta. A regra completa está na nota sobre \(d/dt\) e \(D/Dt\).
Quando as duas famílias coincidem
Suponha que exista um campo vetorial \(\mathbf u(\mathbf x)\), independente do tempo, e um campo escalar \(f(\mathbf x, t) > 0\) tais que \[v_i(\mathbf x, t) = f(\mathbf x, t)\,u_i(\mathbf x) \qquad \leftrightarrow \qquad \mathbf v(\mathbf x, t) = f(\mathbf x, t)\,\mathbf u(\mathbf x) .\] Então as linhas de corrente de qualquer instante coincidem, como curvas, com as trajetórias.
Em particular, isso vale sempre que o escoamento é estacionário, isto é, sempre que \(\partial_t\mathbf v = \mathbf 0\).
Demonstração. Sob a hipótese, o campo de velocidade tem, em cada ponto, uma direção que não depende de \(t\): a direção de \(\mathbf u(\mathbf x)\). A trajetória resolve \(d\mathbf x/dt = f(\mathbf x,t)\,\mathbf u(\mathbf x)\) e a linha de corrente do instante \(t_0\) resolve \(d\mathbf x/ds = f(\mathbf x,t_0)\,\mathbf u(\mathbf x)\). Em ambos os casos o vetor tangente é paralelo a \(\mathbf u(\mathbf x)\) no ponto, com o mesmo sentido, pois \(f > 0\). Duas curvas que passam pelo mesmo ponto e têm em cada ponto a mesma direção tangente são a mesma curva; o que difere entre as duas é apenas a velocidade com que são percorridas, isto é, a parametrização. O caso estacionário é o caso \(f \equiv 1\) e \(\mathbf u = \mathbf v\). \(\blacksquare\)
A recíproca deve ser lida com cuidado: um escoamento não estacionário pode ter as duas famílias coincidentes, e o critério acima diz exatamente quando — quando a dependência temporal altera apenas o módulo da velocidade, nunca a sua direção. O que não pode acontecer é a direção do campo mudar com o tempo em algum ponto e as duas famílias ainda assim coincidirem.
As duas famílias para o campo-exemplo
O campo-exemplo não satisfaz o critério. No ponto \((x_1, x_2)\) com \(x_2 \neq 0\), o vetor velocidade é \((\alpha x_2,\ \beta t)\), cuja direção muda com \(t\): em \(t\) pequeno ele é quase horizontal, e à medida que \(t\) cresce ele se inclina para cima. Logo as duas famílias são distintas, e vale desenhá-las.
Trajetórias. Já foram obtidas na seção anterior: a partícula \(\mathbf X\) percorre \[x_1 = X_1 + \alpha X_2\,t + \tfrac16\alpha\beta\,t^3, \qquad x_2 = X_2 + \tfrac12\beta\,t^2 .\] São curvas cúbicas no parâmetro \(t\).
Linhas de corrente. Congele o instante em \(t_0 > 0\) e resolva \[\frac{dx_1}{ds} = \alpha x_2, \qquad \frac{dx_2}{ds} = \beta t_0 .\] A segunda dá \(x_2 = x_2^0 + \beta t_0\,s\); levando na primeira e integrando, \[x_1 = x_1^0 + \alpha\left(x_2^0\,s + \tfrac12\beta t_0\,s^2\right).\] Eliminando \(s\) entre as duas obtém-se a forma fechada da linha de corrente que passa por \((x_1^0, x_2^0)\) no instante \(t_0\): \[x_1 = x_1^0 + \frac{\alpha}{2\beta t_0}\left[x_2^2 - \left(x_2^0\right)^2\right] .\] São parábolas, e a sua abertura depende do instante \(t_0\) escolhido: quanto mais tarde se congela o relógio, mais fechada é a parábola.
Visualizações de escoamento — experimentais ou numéricas — quase sempre desenham linhas de corrente, porque elas se obtêm de um único instante do campo. Já o material transportado segue trajetórias. Em escoamento não estacionário, ler uma figura de linhas de corrente como se ela mostrasse por onde o material passou é uma conclusão errada, e é um erro recorrente.
As duas famílias voltam a aparecer em U5.T1, onde o teorema de Bernoulli é enunciado ao longo de linhas de corrente de escoamento estacionário — hipótese sob a qual, pelo Resultado 2.3, a distinção desaparece.
Estudo complementar, não avaliado. (Ruderman 2019), problemas 3.1, 3.2 e 3.6. O 3.1 pede a interpretação geométrica de um movimento dado; o 3.2 percorre exatamente o caminho desta sessão — velocidade nas duas descrições, e a verificação de que \(D\mathbf v/Dt = \partial_t\mathbf v + (\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v\); o 3.6 é o problema das duas famílias de curvas, num campo plano não estacionário. As soluções completas encontram-se no próprio livro; por essa razão tais problemas são indicados como estudo dirigido e não como exercícios avaliados.
Deslocamento e movimento rígido
O campo de deslocamento
O deslocamento da partícula \(\mathbf X\) no instante \(t\) é o vetor que liga a sua posição de referência à sua posição atual: \[u_i = x_i - X_i \qquad \leftrightarrow \qquad \mathbf u = \mathbf x - \mathbf X .\] (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.5)
O deslocamento é a mesma informação do movimento, escrita como diferença em vez de posição. Ele é o objeto natural quando os deslocamentos são pequenos, e é nessa condição que ele assume protagonismo, em U2.T2. Para o campo-exemplo, \[u_1 = \alpha X_2\,t + \tfrac16\alpha\beta\,t^3, \qquad u_2 = \tfrac12\beta\,t^2, \qquad u_3 = 0 .\]
Movimento rígido
Um movimento é rígido quando a distância entre duas partículas quaisquer do corpo não muda com o tempo. Movimentos rígidos admitem uma forma fechada, que vale para todo o corpo e para todo \(t\).
Todo movimento rígido tem a forma
\[\begin{aligned} &x_i(t) = c_i(t) + R_{ij}(t)\left[X_j - c_j(0)\right] && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf x(t) = \mathbf c(t) + \mathbf R(t)\left[\mathbf X - \mathbf c(0)\right] && \text{(direta)} \end{aligned}\]
Aqui \(\mathbf c(t)\) é a posição, no instante \(t\), da partícula que ocupava \(\mathbf c(0)\) na configuração de referência, e \(\mathbf R(t)\) é um tensor ortogonal próprio — isto é, uma rotação, com \(\det\mathbf R = +1\) — para cada \(t\), e \(\mathbf R(0) = \mathbf I\). (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.6)
O qualificativo próprio não é decorativo. Um tensor ortogonal com determinante \(-1\) também preserva comprimentos e ângulos, mas leva o corpo na sua imagem especular, o que nenhum movimento realiza. Aqui ele está descartado de graça: \(\mathbf R(0) = \mathbf I\) tem determinante \(+1\), e o determinante varia continuamente com \(t\) sem poder assumir valores entre \(-1\) e \(+1\).
A recíproca — todo movimento dessa forma preserva as distâncias — é o exercício resolvido em (Lai, Rubin, e Krempl 2010, Ex. 3.6.1). A implicação direta, que é a enunciada acima, é um resultado clássico sobre aplicações que preservam distâncias no espaço euclidiano, e não é demonstrada nesta sessão.
A leitura da fórmula é direta: o primeiro termo desloca o corpo inteiro sem girá-lo, e o segundo gira o corpo em torno da partícula de referência. Que essas duas operações esgotem os movimentos rígidos é o conteúdo do Resultado 2.4.
A palavra “ortogonal” carrega aqui todo o peso: é ela que garante que \(\mathbf R(t)\) preserve comprimentos e ângulos, e portanto que a fórmula descreva mesmo um movimento rígido. As propriedades usadas — \(\mathbf Q\mathbf Q^{\mathsf T} = \mathbf I\), a preservação do produto escalar e \(\det\mathbf Q = \pm 1\) — foram estabelecidas em U1.T1. Nada de novo é necessário.
Repare também que \(\mathbf c(t)\) e \(\mathbf R(t)\) são funções só do tempo. Derivá-las com \(d/dt\) é legítimo, pelo mesmo motivo da nota da seção anterior.
Que campo de velocidade um movimento rígido gera, e o que distingue esse campo do campo-exemplo desta sessão?
A resposta é o assunto central de U2.T2. Nesta sessão seguimos uma partícula de cada vez; a próxima olha a vizinhança de uma partícula, e é dessa mudança de foco que a resposta sai.
Nota sobre \(d/dt\) e \(D/Dt\)
O curso inteiro obedece à regra seguinte, e ela vale a partir desta sessão.
Use \(D/Dt\) sempre que o objeto derivado for um campo na descrição espacial — algo que dependa de \((\mathbf x, t)\). Nesse caso a expressão “derivada em relação ao tempo” é ambígua até que se diga o que fica fixo, e o símbolo \(D/Dt\) é a declaração de que fica fixa a partícula, não o ponto. A alternativa, fixar o ponto, tem símbolo próprio: \(\partial/\partial t\).
Use \(d/dt\) apenas quando o objeto derivado for função só do tempo. São exemplos, nesta sessão: a posição \(\mathbf x(t)\) de uma partícula ao longo de sua trajetória, e as funções \(\mathbf c(t)\) e \(\mathbf R(t)\) do movimento rígido. Não há campo, não há ponto a fixar, e não há ambiguidade.
Escrever \(d\Phi/dt\) para um campo espacial é, neste curso, um erro de notação, e não uma abreviação aceitável — porque a expressão não determina qual das duas derivadas se pretende.
Exercícios propostos
Considere o campo de velocidade plano \[v_1 = U_0\left(1 + \lambda t\right), \qquad v_2 = \gamma\,x_1, \qquad v_3 = 0,\] com \(U_0 > 0\), \(\lambda > 0\) e \(\gamma > 0\) constantes, e \(t \geq 0\).
(a) As lacunas da derivação. Obtenha o movimento \(\mathbf x = \mathbf x(\mathbf X, t)\) integrando \(\left.\partial x_i/\partial t\right|_{\mathbf X} = v_i\) com \(\mathbf x = \mathbf X\) em \(t = 0\). Sugestão: a equação de \(x_1\) não envolve \(x_2\); resolva-a primeiro. Em seguida, exiba explicitamente a inversa \(\mathbf X = \mathbf X(\mathbf x, t)\) e verifique que ela existe para todo \(t \geq 0\). Identifique em qual passo da derivação do Resultado 2.1 essa inversa é usada.
(b) Da descrição material para a espacial. Escreva a velocidade na descrição material, \(\hat{\mathbf v}(\mathbf X, t)\), derivando o movimento obtido em (a). Depois, usando a inversa, converta-a de volta e confirme que o resultado é o campo espacial dado no enunciado.
(c) A aceleração por dois caminhos. Calcule \(\mathbf a\) pelo Resultado 2.2, componente a componente na notação indicial, e confira compactando na notação direta. Em seguida calcule \(\mathbf a\) de novo, derivando duas vezes o movimento de (a) com \(\mathbf X\) fixo. Os dois resultados devem coincidir; se não coincidirem, indique em qual passo está o erro.
(d) Um campo transportado. A temperatura do meio é \(\theta(\mathbf x, t) = \theta_0 + G\,x_2\), com \(\theta_0\) e \(G\) constantes. O papel de \(G\) aqui é o mesmo da cena de abertura — um gradiente fixo de temperatura — agora ao longo de \(x_2\). Calcule \(D\theta/Dt\). Explique, em uma frase, por que um termômetro parado não registra variação alguma enquanto uma partícula registra.
(e) As duas famílias. Para um instante \(t_0 > 0\) fixo, obtenha as linhas de corrente em forma fechada, e compare-as com as trajetórias que você já tem de (a). Depois use o Resultado 2.3 para decidir onde as duas famílias coincidem e onde não coincidem. Atenção: a resposta não é a mesma em todo o plano — examine separadamente os pontos com \(x_1 \neq 0\) e os pontos da reta \(x_1 = 0\), e diga o que distingue os dois casos.
(f) Verificação numérica. Com numpy, integre numericamente a trajetória de uma partícula a partir de \(\mathbf X = (1, 1, 0)\), com \(U_0 = \lambda = \gamma = 1\), até \(t = 2\), e compare com o movimento em forma fechada obtido em (a). Informe a diferença máxima e comente sua ordem de grandeza. Desenhe, na mesma figura, essa trajetória e a linha de corrente que passa pela posição da partícula no instante \(t_0 = 1\).
Esta é a única lista atribuída nesta sessão. O enunciado consolidado da PS1, com todos os itens de U1 e U2, é fechado em U2.T2.