U2.T2 — Deformação, taxa de deformação e spin
Sessão U2.T2 · data: ver calendar-map
A sessão anterior descreveu uma partícula: onde ela está, com que velocidade se move, e o que ela sente quando um campo varia ao seu redor. Esta sessão muda o foco para a vizinhança dessa partícula. A pergunta é o que acontece com um pedacinho de matéria em torno de um ponto: ele estica, gira, muda de forma?
A resposta inteira está contida em um único objeto, o gradiente de velocidade \(\nabla\mathbf v\), e a sessão é a anatomia dele. Ao final teremos separado o movimento local em três partes independentes, teremos fechado o item da ementa sobre corpos rígidos, e teremos enunciado — sem demonstrar — a primeira lei de conservação do curso.
A vizinhança de um ponto
Toda esta sessão repousa sobre um único enunciado de cálculo, e vale enunciá-lo uma vez, para um campo qualquer, antes de aplicá-lo. Seja \(\mathbf f\) um campo vetorial diferenciável. Fixe um ponto e considere um segundo ponto a uma distância pequena dele. Os valores de \(\mathbf f\) nos dois pontos não são os mesmos, e a diferença entre eles é o objeto de estudo.
\[\begin{aligned} &f_i(\mathbf x + d\mathbf x) = f_i(\mathbf x) + \frac{\partial f_i}{\partial x_j}\,dx_j + O(|d\mathbf x|^2) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf f(\mathbf x + d\mathbf x) = \mathbf f(\mathbf x) + (\nabla\mathbf f)\,d\mathbf x + O(|d\mathbf x|^2) && \text{(direta)} \end{aligned}\]
O tensor \(\nabla\mathbf f\), de componentes \(\partial f_i/\partial x_j\), é o gradiente do campo, definido em U1.T2.
O enunciado acima não escolhe descrição. Ele vale para um campo de qualquer variável: o que muda de uma aplicação para outra é a variável em que se deriva, e essa escolha tem de estar sempre explícita. Esta sessão aplica o enunciado duas vezes, com duas escolhas diferentes.
| Campo | Descrição | Deriva-se em | O que sai dele |
|---|---|---|---|
| deslocamento \(\mathbf u\) | material | \(\mathbf X\) | o tensor de deformação infinitesimal \(\mathbf E\) |
| velocidade \(\mathbf v\) | espacial | \(\mathbf x\) | a taxa de deformação \(\mathbf D\) e o spin \(\mathbf W\) |
As duas descrições foram definidas em U2.T1: a material segue a partícula pelo seu rótulo \(\mathbf X\); a espacial fica no lugar \(\mathbf x\) e vê o material passar.
Por que o resto é de segunda ordem
A parcela \(O(|d\mathbf x|^2)\) não é um enfeite de notação, e o painel (d) da Figura 3 a desenha. No campo daquele desenho, com o \(d\mathbf x\) ali marcado, o resto vale \(16{,}7\%\) da parcela linear — porque \(|d\mathbf x|\) vale mais de um quarto da largura do domínio, e não há nada de pequeno nele.
O que faz do resto um termo de segunda ordem é o modo como ele encolhe. Repetindo a medida com o mesmo campo e o mesmo ponto, para \(d\mathbf x\) cada vez menores:
| Fração de \(|d\mathbf x|\) | resto / parcela linear |
|---|---|
| \(1\) | \(16{,}7\%\) |
| \(1/2\) | \(8{,}3\%\) |
| \(1/4\) | \(4{,}2\%\) |
| \(1/8\) | \(2{,}1\%\) |
Cada vez que \(|d\mathbf x|\) cai pela metade, a razão cai pela metade também. É isso que autoriza desprezar o resto no limite, e é só isso: o resto não some, ele fica desprezível em comparação com a parcela linear.
A parcela que interessa
Aplicando o enunciado ao campo de velocidade, na descrição espacial:
\[\begin{aligned} &v_i(\mathbf x + d\mathbf x, t) = v_i(\mathbf x, t) + \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\,dx_j + O(|d\mathbf x|^2) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf v(\mathbf x + d\mathbf x, t) = \mathbf v(\mathbf x, t) + (\nabla\mathbf v)\,d\mathbf x + O(|d\mathbf x|^2) && \text{(direta)} \end{aligned}\]
Descrição espacial — as derivadas são tomadas em \(\mathbf x\).
O primeiro termo é comum a toda a vizinhança: é a velocidade da própria partícula de referência. Tudo o que distingue o vizinho da partícula está na parcela \((\nabla\mathbf v)\,d\mathbf x\).
O que \(\nabla\mathbf v\) sabe sobre o movimento da vizinhança de um ponto?
A resposta é o Resultado 2.9: a parcela \((\nabla\mathbf v)\,d\mathbf x\) se separa em uma rotação rígida e um estiramento puro. A separação é única, e cada uma das duas partes pode assumir qualquer valor sem restringir a outra.
Antes de chegar lá, a próxima seção faz a primeira das duas aplicações da tabela acima — a do campo de deslocamento, na descrição material. O que ela constrói é o gêmeo estático do que vem depois.
Deformação infinitesimal
Esta é a primeira aplicação do enunciado da §A vizinhança de um ponto, e ela é feita na descrição material: o campo é o deslocamento \(\mathbf u\), e as derivadas são tomadas nas coordenadas \(\mathbf X\) que rotulam as partículas.
O campo de deslocamento foi definido em U2.T1: ele leva a posição de referência \(\mathbf X\) de uma partícula à sua posição atual, por \(\mathbf x = \mathbf X + \mathbf u(\mathbf X, t)\). Tomando \(\mathbf f = \mathbf u\) no enunciado geral, um elemento material \(d\mathbf X\) da configuração de referência vira, na configuração atual,
\[d\mathbf x = d\mathbf X + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)\,d\mathbf X ,\]
onde \(\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\) é o gradiente de deslocamento, um tensor de segunda ordem (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.7). O índice \(\mathbf X\) registra que as derivadas são tomadas nas coordenadas materiais.
Esta seção trata do regime em que tanto o deslocamento quanto as suas derivadas são pequenos. É a hipótese da deformação infinitesimal, e ela é a que sustenta a elasticidade linear. Nela, a distinção entre derivar em \(\mathbf X\) e derivar em \(\mathbf x\) produz uma diferença de segunda ordem, que é desprezada junto com as demais.
O tensor que mede a mudança de forma
O gradiente de deslocamento se decompõe, como qualquer tensor de segunda ordem, em uma parte simétrica e uma parte antissimétrica (U1.T2). A parte antissimétrica descreve uma rotação infinitesimal e não altera comprimento algum. Resta a parte simétrica, e é ela que mede a mudança de forma.
O tensor de deformação infinitesimal \(\mathbf E\) é a parte simétrica do gradiente de deslocamento: \[\begin{aligned} &E_{ij} = \frac12\left(\frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i}\right) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf E = \tfrac12\left(\nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^{\mathsf T}\right) && \text{(direta)} \end{aligned}\] Ele é simétrico por construção, e tem portanto seis componentes independentes. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.7; Ruderman 2019, seç. 3.4)
Descrição material — as derivadas são tomadas em \(\mathbf X\).
A escolha da parte simétrica não é estética. Pelo exercício PS1.2, proposto em U1.T1, a decomposição de um tensor em parte simétrica mais parte antissimétrica é única. Existe, então, uma única parcela candidata a medir forma, e é essa que \(\mathbf E\) isola.
O que cada componente mede
As componentes de \(\mathbf E\) têm significado geométrico direto, e vale a pena enunciá-lo com precisão, porque o fator \(2\) do segundo item é fonte permanente de erro de sinal e de escala.
Seja \(\mathbf E\) o tensor de deformação infinitesimal em um ponto.
- Para um elemento material que estava na direção unitária \(\mathbf n\), o alongamento por unidade de comprimento vale \[\frac{ds - dS}{dS} = n_i E_{ij} n_j = \mathbf n\cdot\mathbf E\,\mathbf n\] — igual nas duas notações, e escrita nas duas. Em particular, \(E_{11}\), \(E_{22}\) e \(E_{33}\) são os alongamentos relativos nas direções \(\mathbf e_1\), \(\mathbf e_2\) e \(\mathbf e_3\).
- Para dois elementos que estavam nas direções perpendiculares \(\mathbf e_1\) e \(\mathbf e_2\), o decréscimo do ângulo entre eles vale \(2E_{12}\). O mesmo vale para os pares \((\mathbf e_1, \mathbf e_3)\) e \((\mathbf e_2, \mathbf e_3)\), com \(2E_{13}\) e \(2E_{23}\).
(Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.8)
Descrição material — as derivadas são tomadas em \(\mathbf X\).
O item 2 merece a leitura literal: \(E_{12}\) é metade do ângulo perdido. Uma grandeza chamada “deformação de cisalhamento” aparece na literatura tanto como \(E_{12}\) quanto como \(2E_{12}\), e as duas convivem. Neste curso vale sempre a do Resultado 2.5.
Um caso em números. Tome o deslocamento \[u_1 = \gamma\,X_2, \qquad u_2 = u_3 = 0 ,\] com \(\gamma\) pequeno. A única derivada não nula é \(\partial u_1/\partial X_2 = \gamma\), e portanto \[[\mathbf E] = \begin{bmatrix} 0 & \gamma/2 & 0\\ \gamma/2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.\] Leia a matriz pelo Resultado 2.5: as diagonais são nulas, logo nenhum elemento ao longo dos eixos muda de comprimento; e \(2E_{12} = \gamma\), logo o ângulo entre os eixos \(\mathbf e_1\) e \(\mathbf e_2\) diminui de \(\gamma\). A dilatação é \(\operatorname{tr}\mathbf E = 0\): a forma muda, o volume não.
Guarde a forma desta matriz. Ela reaparece, com \(\mathbf D\) no lugar de \(\mathbf E\) e \(\alpha\) no lugar de \(\gamma\), quando a §O campo-exemplo da unidade, revisitado desmontar o campo da unidade. É esse o sentido em que a próxima seção é uma releitura desta.
Dilatação
Falta uma pergunta de volume: em quanto cresce um elemento material?
A variação relativa de volume de um elemento material, no regime infinitesimal, é o primeiro invariante de \(\mathbf E\): \[\begin{aligned} &\frac{\Delta(dV)}{dV} = E_{ii} = \frac{\partial u_i}{\partial X_i} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\frac{\Delta(dV)}{dV} = \operatorname{tr}\mathbf E = \operatorname{div}\mathbf u && \text{(direta)} \end{aligned}\] Esta grandeza se chama dilatação. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.10)
Descrição material — as derivadas são tomadas em \(\mathbf X\).
O argumento é geométrico e cabe em uma figura. Tome as três direções principais de \(\mathbf E\) em um ponto — elas existem e são mutuamente perpendiculares porque \(\mathbf E\) é simétrico (U1.T2). Nelas o elemento só estica, com fatores \(1 + E_1\), \(1 + E_2\) e \(1 + E_3\), em que \(E_1\), \(E_2\) e \(E_3\) são os autovalores. O volume novo é o produto dos três fatores, e o produto vale \(1 + E_1 + E_2 + E_3\) mais termos de ordem superior, que a hipótese infinitesimal descarta.
Como o primeiro invariante não muda com a base (PS1.4), a dilatação é a mesma calculada em qualquer sistema de coordenadas. Isso era necessário: o volume de um pedaço de matéria não pode depender de quem o mede.
O gradiente de velocidade e sua decomposição
Esta é a segunda aplicação do mesmo enunciado, agora na descrição espacial: o campo é a velocidade \(\mathbf v\), e as derivadas são tomadas em \(\mathbf x\). Os objetos que saem dela têm uma diferença essencial em relação aos da seção anterior: eles são taxas, medidas por unidade de tempo, e valem para deformações de qualquer tamanho, não apenas para as infinitesimais.
A ponte entre as duas leituras é a taxa de variação de um elemento material. Derivando \(d\mathbf x = \mathbf x(\mathbf X + d\mathbf X, t) - \mathbf x(\mathbf X, t)\) em relação ao tempo, com \(\mathbf X\) fixo, e usando a derivada material do Resultado 2.1 de U2.T1:
\[\begin{aligned} &\frac{D}{Dt}(dx_i) = \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\,dx_j && \text{(indicial)}\\[4pt] &\frac{D}{Dt}(d\mathbf x) = (\nabla\mathbf v)\,d\mathbf x && \text{(direta)} \end{aligned}\]
Ou seja: \(\nabla\mathbf v\) é o operador que diz com que velocidade cada elemento material muda de comprimento e de direção (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.12). É o mesmo tensor da expansão de Taylor da §A parcela que interessa, lido agora como taxa.
As duas parcelas
O gradiente de velocidade se escreve, de modo único, como a soma de um tensor simétrico e um antissimétrico: \[\begin{aligned} &\frac{\partial v_i}{\partial x_j} = D_{ij} + W_{ij} && \text{(indicial)}\\[2pt] &\quad D_{ij} = \frac12\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right), \qquad W_{ij} = \frac12\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} - \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right) &&\\[6pt] &\nabla\mathbf v = \mathbf D + \mathbf W && \text{(direta)}\\[2pt] &\quad \mathbf D = \tfrac12\left(\nabla\mathbf v + (\nabla\mathbf v)^{\mathsf T}\right), \qquad \mathbf W = \tfrac12\left(\nabla\mathbf v - (\nabla\mathbf v)^{\mathsf T}\right) && \end{aligned}\] \(\mathbf D\) chama-se tensor taxa de deformação e \(\mathbf W\) chama-se tensor spin. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.13; Ruderman 2019, seç. 3.5–3.6)
Descrição espacial — as derivadas são tomadas em \(\mathbf x\).
A unicidade da decomposição é o item (b) de PS1.2, e é o que autoriza falar de “a” parte simétrica e “a” parte antissimétrica. Os nomes das duas parcelas são justificados nos Resultados 2.9 e 2.10, e não antes.
O vetor dual do spin, e o fator um meio
\(\mathbf W\) é antissimétrico, e portanto tem apenas três componentes independentes. Em U1.T2 essas três componentes foram reunidas em um vetor, o vetor dual \(\mathbf w\), definido por \(\mathbf W\mathbf a = \mathbf w\times\mathbf a\) para todo \(\mathbf a\). Naquela sessão o vetor dual era um objeto puramente algébrico, e ficou registrado que a sua interpretação cinemática seria dada aqui. O resultado a seguir a dá, e fixa de uma vez o fator \(\tfrac12\) que o acompanha.
Seja \(\mathbf w\) o vetor dual de \(\mathbf W\), de modo que \(W_{ij} = -\varepsilon_{ijk}\,w_k\) (U1.T2). Então \[\begin{aligned} &w_k = \tfrac12\,\varepsilon_{kij}\,\frac{\partial v_j}{\partial x_i} = \tfrac12\,\omega_k && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf w = \tfrac12\,\operatorname{rot}\mathbf v = \tfrac12\,\boldsymbol\omega && \text{(direta)} \end{aligned}\] onde \(\boldsymbol\omega = \operatorname{rot}\mathbf v\) é a vorticidade. O vetor dual do spin é, portanto, metade da vorticidade. (Ruderman 2019, seç. 3.6)
Descrição espacial — as derivadas são tomadas em \(\mathbf x\).
A relação com o rotacional é de (Ruderman 2019, seç. 3.6). A leitura do vetor dual como velocidade angular é de (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.14), que não escreve o rotacional nesse ponto. Note também, com (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.14), que \(\mathbf w\) é a velocidade angular da parcela de rotação: os elementos materiais que giram exatamente com essa velocidade angular são os que estão nas direções principais de \(\mathbf D\), porque só sobre eles \(\mathbf D\) não acrescenta rotação.
Os dois símbolos designam objetos diferentes e não são intercambiáveis. Neste curso, \(\boldsymbol\omega\) é sempre o rotacional da velocidade, e \(\mathbf w\) é sempre o vetor dual do spin; a relação entre eles é a do Resultado 2.8, e o fator \(\tfrac12\) nunca é omitido. A vorticidade volta como objeto de estudo próprio em U5.T2; aqui ela aparece apenas como o rotacional que fornece \(\mathbf w\).
Obtenção. Inverta a relação entre \(\mathbf W\) e o seu vetor dual, como feito em U1.T2: de \(W_{ij} = -\varepsilon_{ijk}w_k\) segue \(w_k = -\tfrac12\varepsilon_{kij}W_{ij}\). Substitua a expressão de \(W_{ij}\) do Resultado 2.7: \[w_k = -\frac12\,\varepsilon_{kij}\cdot\frac12 \left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} - \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right) = -\frac14\left(\varepsilon_{kij}\frac{\partial v_i}{\partial x_j} - \varepsilon_{kij}\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right).\] No segundo termo troque os nomes dos índices mudos \(i\) e \(j\); ele vira \(\varepsilon_{kji}\,\partial v_i/\partial x_j = -\varepsilon_{kij}\,\partial v_i/\partial x_j\). Os dois termos se somam, e resta \(w_k = \tfrac12\,\varepsilon_{kji}\,\partial v_i / \partial x_j\), que é metade da componente \(k\) do rotacional.
A decomposição local do campo de velocidade
Reúna agora as duas peças. Substituindo \(\nabla\mathbf v = \mathbf D + \mathbf W\) na expansão de Taylor, e trocando a ação de \(\mathbf W\) pelo produto vetorial com o seu vetor dual, obtém-se a leitura completa do movimento na vizinhança de um ponto.
Para \(|d\mathbf x|\) pequeno, \[\begin{aligned} &v_i(\mathbf x + d\mathbf x) \approx v_i(\mathbf x) + \varepsilon_{ijk}\,w_j\,dx_k + D_{ij}\,dx_j && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf v(\mathbf x + d\mathbf x) \approx \mathbf v(\mathbf x) + \mathbf w\times d\mathbf x + \mathbf D\,d\mathbf x && \text{(direta)} \end{aligned}\] As três parcelas são, nesta ordem: translação com a velocidade da partícula de referência, rotação rígida com velocidade angular \(\mathbf w\), e estiramento puro governado por \(\mathbf D\). (Ruderman 2019, seç. 3.6; Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.14)
Descrição espacial — as derivadas são tomadas em \(\mathbf x\).
A palavra “rígida” na segunda parcela tem conteúdo preciso, e ele é justificado já a seguir: a parcela \(\mathbf w\times d\mathbf x\) não altera o comprimento de \(d\mathbf x\). A justificativa é de uma linha. Pelo Resultado 2.7, \[\frac{D}{Dt}\left(|d\mathbf x|^2\right) = 2\,d\mathbf x\cdot\frac{D}{Dt}(d\mathbf x) = 2\,d\mathbf x\cdot\mathbf D\,d\mathbf x + 2\,d\mathbf x\cdot\mathbf W\,d\mathbf x ,\] e o último termo é nulo, porque \(\mathbf W\) é antissimétrico: para qualquer vetor \(\mathbf a\) vale \(\mathbf a\cdot\mathbf W\mathbf a = \mathbf a\cdot\mathbf W^{\mathsf T}\mathbf a = -\,\mathbf a\cdot\mathbf W\mathbf a\), logo esse número é igual ao seu oposto (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.13). Só \(\mathbf D\) muda comprimentos.
O que as componentes de D medem
Seja \(\mathbf D\) a taxa de deformação em um ponto.
- Para um elemento material na direção unitária \(\mathbf n\), a taxa de alongamento por unidade de comprimento vale \[\frac{1}{ds}\frac{D(ds)}{Dt} = n_i D_{ij} n_j = \mathbf n\cdot\mathbf D\,\mathbf n\] — igual nas duas notações, e escrita nas duas.
- Para dois elementos nas direções perpendiculares \(\mathbf e_1\) e \(\mathbf e_2\), a taxa de decréscimo do ângulo entre eles vale \(2D_{12}\); analogamente para os outros dois pares.
- O primeiro invariante de \(\mathbf D\) é a taxa de variação relativa de volume: \[\begin{aligned} &\frac{1}{dV}\frac{D(dV)}{Dt} = D_{ii} = \frac{\partial v_i}{\partial x_i} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\frac{1}{dV}\frac{D(dV)}{Dt} = \operatorname{tr}\mathbf D = \operatorname{div}\mathbf v && \text{(direta)} \end{aligned}\]
(Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.13)
Descrição espacial — as derivadas são tomadas em \(\mathbf x\).
O item 3 é o que esta sessão deixa para a Unidade 3, e convém guardá-lo com todas as letras: \(\operatorname{div}\mathbf v\) é a taxa com que um elemento material ganha volume, por unidade de volume. Ele reaparece na conservação de massa, ainda nesta sessão, e em toda a Unidade 3.
Como \(\mathbf D\) é simétrico e real, ele tem três direções principais mutuamente perpendiculares (U1.T2). Nelas, pelo item 2, as taxas de cisalhamento se anulam: um elemento alinhado com as direções principais apenas estica, sem que os seus ângulos retos se abram.
Note o que essa figura afirma e o que ela não afirma. A taxa de cisalhamento não é uma propriedade do material nem do escoamento sozinho: ela depende também do par de direções escolhido. Trocar de direções muda o número; trocar de material, não — este curso ainda não introduziu material nenhum.
O campo-exemplo da unidade, revisitado
O campo fixado em U2.T1 volta aqui, agora para ser desmontado nas três parcelas do Resultado 2.9. Ele é \[v_1 = \alpha\,x_2, \qquad v_2 = \beta\,t, \qquad v_3 = 0 ,\] com \(\alpha > 0\) e \(\beta > 0\) constantes.
O gradiente de velocidade. Apenas uma das nove derivadas é não nula, a saber \(\partial v_1/\partial x_2 = \alpha\): \[[\nabla\mathbf v] = \begin{bmatrix} 0 & \alpha & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.\] O termo \(\beta t\) não aparece. Ele é uniforme no espaço, e o gradiente só enxerga variação espacial: uma parcela igual em todos os pontos translada a vizinhança inteira sem deformá-la.
As duas partes. Simetrizando e antissimetrizando: \[[\mathbf D] = \begin{bmatrix} 0 & \alpha/2 & 0\\ \alpha/2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}, \qquad [\mathbf W] = \begin{bmatrix} 0 & \alpha/2 & 0\\ -\alpha/2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.\]
O vetor dual. De \(W_{12} = -\varepsilon_{12k}w_k = -w_3\) e \(W_{12} = \alpha/2\) vem \(w_3 = -\alpha/2\), isto é, \(\mathbf w = -\tfrac{\alpha}{2}\,\mathbf e_3\). A verificação pelo Resultado 2.8 é imediata: \(\boldsymbol\omega = \operatorname{rot}\mathbf v = (\partial_1 v_2 - \partial_2 v_1)\,\mathbf e_3 = -\alpha\,\mathbf e_3\), e de fato \(\mathbf w = \tfrac12\boldsymbol\omega\). O sinal negativo diz que a vizinhança gira no sentido horário.
As direções principais de D. Os autovalores de \([\mathbf D]\) são \(+\alpha/2\), \(-\alpha/2\) e \(0\), com autovetores \[\mathbf n_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(\mathbf e_1 + \mathbf e_2), \qquad \mathbf n_2 = \tfrac{1}{\sqrt2}(\mathbf e_1 - \mathbf e_2), \qquad \mathbf n_3 = \mathbf e_3 .\] Pelo Resultado 2.10, um elemento material ao longo de \(\mathbf n_1\) estica à taxa \(\alpha/2\), e um ao longo de \(\mathbf n_2\) encurta à mesma taxa. As duas direções formam \(45^\circ\) com os eixos.
O volume. \(\operatorname{tr}\mathbf D = 0\), logo \(\operatorname{div}\mathbf v = 0\): cada elemento material conserva o seu volume, embora mude de forma o tempo todo. O que ele ganha em uma direção principal, perde na outra.
Em resumo, este escoamento é, ponto a ponto: uma translação, mais uma rotação horária de velocidade angular \(\alpha/2\), mais um estiramento a \(45^\circ\) com taxa \(\alpha/2\). A conta correspondente, para outro campo, é o exercício PS1.6.
Movimento rígido: o caso em que D se anula
A equação cinemática do movimento rígido foi obtida em U2.T1, no Resultado 2.4: existem uma função \(\mathbf c(t)\) e um tensor ortogonal \(\mathbf R(t)\) tais que \[\mathbf x(t) = \mathbf c(t) + \mathbf R(t)\,(\mathbf X - \mathbf c(0)).\] Naquela sessão ficou pendente uma pergunta: como esse movimento se enxerga no gradiente de velocidade? O resultado abaixo responde, e responde nos dois sentidos.
Considere um corpo que ocupa uma região conexa: dois pontos quaisquer dela podem ser ligados por um caminho que não sai da região.
- Se o movimento é rígido, então o campo de velocidade vale \[\begin{aligned} &v_i = \dot c_i + \varepsilon_{ijk}\,w_j\,(x_k - c_k) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf v = \dot{\mathbf c} + \mathbf w\times(\mathbf x - \mathbf c) && \text{(direta)} \end{aligned}\] e \(\mathbf D \equiv \mathbf 0\) em todo o corpo.
- Reciprocamente, se \(\mathbf D \equiv \mathbf 0\) em todo o corpo, o movimento é rígido.
Descrição espacial — as derivadas são tomadas em \(\mathbf x\).
Demonstração do item 1. Derive a equação cinemática com \(\mathbf X\) fixo: \(\mathbf v = \dot{\mathbf c} + \dot{\mathbf R}(\mathbf X - \mathbf c(0))\). A mesma equação, resolvida para \(\mathbf X - \mathbf c(0)\), dá \(\mathbf X - \mathbf c(0) = \mathbf R^{\mathsf T}(\mathbf x - \mathbf c)\), porque \(\mathbf R\) é ortogonal. Substituindo, \[\mathbf v = \dot{\mathbf c} + \boldsymbol\Omega\,(\mathbf x - \mathbf c), \qquad \boldsymbol\Omega \equiv \dot{\mathbf R}\,\mathbf R^{\mathsf T}.\] O tensor \(\boldsymbol\Omega\) é antissimétrico: derivando \(\mathbf R\mathbf R^{\mathsf T} = \mathbf I\) no tempo, obtém-se \(\dot{\mathbf R}\mathbf R^{\mathsf T} + \mathbf R\dot{\mathbf R}^{\mathsf T} = \mathbf 0\), isto é, \(\boldsymbol\Omega + \boldsymbol\Omega^{\mathsf T} = \mathbf 0\). Como \(\dot{\mathbf c}\) e \(\mathbf c\) não dependem de \(\mathbf x\), o gradiente do campo de velocidade é \(\nabla\mathbf v = \boldsymbol\Omega\). A parte simétrica de um tensor antissimétrico é nula, logo \(\mathbf D = \mathbf 0\) e \(\mathbf W = \boldsymbol\Omega\). Chamando \(\mathbf w\) o vetor dual de \(\boldsymbol\Omega\), a ação de \(\boldsymbol\Omega\) vira o produto vetorial do enunciado. \(\square\)
Demonstração do item 2. Se \(\mathbf D \equiv \mathbf 0\), então \(\partial v_i/\partial x_j = W_{ij}\) em todo ponto. Deriva-se essa igualdade e usa-se duas vezes a igualdade das derivadas mistas, mais a antissimetria de \(\mathbf W\), na seguinte cadeia: \[\frac{\partial W_{ij}}{\partial x_k} = \frac{\partial W_{ik}}{\partial x_j} = -\frac{\partial W_{kj}}{\partial x_i} = \frac{\partial W_{jk}}{\partial x_i} = \frac{\partial W_{ji}}{\partial x_k} = -\frac{\partial W_{ij}}{\partial x_k} .\] Cada passo troca uma derivada mista de lugar ou aplica \(W_{ab} = -W_{ba}\). O primeiro e o último membro diferem por um sinal, logo ambos são nulos: \(\mathbf W\) não depende da posição. Integrando \(\partial v_i/\partial x_j = W_{ij}\) com \(\mathbf W\) constante, ao longo de um caminho dentro do corpo — e é aqui que a conexidade é usada —, obtém-se \[\mathbf v(\mathbf x) = \mathbf v(\mathbf x_0) + \mathbf W\,(\mathbf x - \mathbf x_0),\] que é exatamente a forma do item 1, com \(\mathbf w\) o vetor dual de \(\mathbf W\). \(\square\)
Por que a mecânica dos corpos rígidos é um capítulo deste assunto
O Resultado 2.11 fecha o item da ementa sobre corpos rígidos, e o fecha de um modo específico, que vale enunciar. O corpo rígido não é um objeto de outra teoria: é o caso particular em que a cinemática local degenera. Num meio contínuo geral, o movimento da vizinhança de cada ponto tem nove graus de liberdade, as nove componentes de \(\nabla\mathbf v\), e eles variam de ponto para ponto. Impondo \(\mathbf D \equiv \mathbf 0\), restam apenas \(\mathbf W\) antissimétrico — três números — e a velocidade de um ponto de referência — outros três. Seis números descrevem o corpo inteiro, e não mais um campo por ponto.
É essa redução de um campo a seis números que torna a mecânica dos corpos rígidos um assunto separado, com equações próprias. A ordem lógica, porém, é a inversa da ordem histórica: o rígido é o caso degenerado do contínuo, e não o contínuo uma generalização do rígido.
Guarde também a leitura de \(\mathbf D\) que este resultado autoriza, porque ela volta na Unidade 4: um movimento rígido tem \(\mathbf D = \mathbf 0\), e qualquer descrição do comportamento de um material que dependa de \(\mathbf D\) atribui, automaticamente, efeito nulo a um movimento rígido.
Deformação finita: um sobrevoo
Tudo o que foi feito até aqui vale ou para deformações infinitesimais — o caso de \(\mathbf E\) — ou para taxas instantâneas — o caso de \(\mathbf D\). Existe uma descrição exata, válida para deformações de qualquer tamanho, e esta seção a apresenta em sobrevoo: enunciados e figuras, sem demonstrações. O material completo está no handout de deformação finita, que acompanha esta sessão. Os objetos abaixo são usados nominalmente em U4.T1.
O gradiente de deformação \(\mathbf F\) é o gradiente material do movimento: \[\begin{aligned} &F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j}, \qquad dx_i = F_{ij}\,dX_j && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf F = \nabla_{\mathbf X}\,\mathbf x, \qquad d\mathbf x = \mathbf F\,d\mathbf X && \text{(direta)} \end{aligned}\] A invertibilidade do movimento, assumida em U2.T1, equivale a \(\det\mathbf F > 0\). (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.18)
Descrição material — deriva-se em \(\mathbf X\), e o resultado age sobre elementos da configuração de referência.
Todo tensor \(\mathbf F\) com \(\det\mathbf F \neq 0\) se escreve, de modo único, como \[\mathbf F = \mathbf R\,\mathbf U = \mathbf V\,\mathbf R \qquad \text{(igual nas duas notações),}\] com \(\mathbf R\) ortogonal própria — isto é, \(\det\mathbf R = +1\) — e \(\mathbf U\), \(\mathbf V\) simétricos e positivos definidos, o que significa \(\mathbf a\cdot\mathbf U\mathbf a > 0\) para todo \(\mathbf a \neq \mathbf 0\). \(\mathbf U\) e \(\mathbf V\) chamam-se tensores de estiramento à direita e à esquerda. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.21)
A leitura de \(\mathbf F = \mathbf R\mathbf U\) é da direita para a esquerda: primeiro um estiramento puro ao longo de três direções perpendiculares, depois uma rotação rígida.
Definindo \(\mathbf C = \mathbf U^2\), vale \[\begin{aligned} &C_{ij} = F_{ki}\,F_{kj} && \text{(indicial)}\\[2pt] &\quad dx^{(1)}_i\,dx^{(2)}_i = dX^{(1)}_i\,C_{ij}\,dX^{(2)}_j &&\\[6pt] &\mathbf C = \mathbf F^{\mathsf T}\mathbf F && \text{(direta)}\\[2pt] &\quad d\mathbf x^{(1)}\!\cdot d\mathbf x^{(2)} = d\mathbf X^{(1)}\!\cdot \mathbf C\,d\mathbf X^{(2)} && \end{aligned}\] Portanto \(\mathbf C\) contém todos os comprimentos e ângulos da configuração atual, medidos em variáveis materiais. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.23) Além disso, \(\mathbf C = \mathbf I\) caracteriza os movimentos rígidos (Ruderman 2019, seç. 3.4); a recíproca é imediata pelo Resultado 2.12, porque \(\mathbf C = \mathbf I\) força \(\mathbf U = \mathbf I\) e, com isso, \(\mathbf F = \mathbf R\).
Um elemento de volume e um elemento de área se transformam segundo \[\begin{aligned} &dV = (\det\mathbf F)\,dV_0 && \text{(indicial)}\\[2pt] &\quad n_i\,dA = (\det\mathbf F)\,(F^{-1})_{ji}\,(n_0)_j\,dA_0 &&\\[6pt] &dV = (\det\mathbf F)\,dV_0 && \text{(direta)}\\[2pt] &\quad \mathbf n\,dA = (\det\mathbf F)\,\mathbf F^{-\mathsf T}\mathbf n_0\,dA_0 && \end{aligned}\] A segunda relação é a fórmula de Nanson; ela é apenas exibida aqui. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.27–3.28)
A ligação com o que veio antes. \(\mathbf E\) e \(\mathbf D\) são as versões linearizada e instantânea desta maquinaria: \(\mathbf E\) aproxima a informação de \(\mathbf C\) quando o deslocamento e as suas derivadas são pequenos, e \(\mathbf D\) mede a taxa com que essa informação muda. As três descrições contam a mesma história, em três regimes distintos.
Conservação de massa, enunciada
Esta sessão termina com uma equação que não será demonstrada aqui.
Seja \(\rho(\mathbf x, t)\) a densidade do meio, isto é, a massa por unidade de volume. Então \[\begin{aligned} &\frac{D\rho}{Dt} + \rho\,\frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0 && \text{(indicial)}\\[4pt] &\frac{D\rho}{Dt} + \rho\,\operatorname{div}\mathbf v = 0 && \text{(direta)} \end{aligned}\]
Descrição espacial — \(\rho\) e \(\mathbf v\) são campos de \(\mathbf x\), e \(D/Dt\) é a derivada material do Resultado 2.1 de U2.T1.
Chame volume material uma porção do meio que se move com ele: ela é sempre formada pelas mesmas partículas, e por isso a sua fronteira acompanha o escoamento. O que se pode dar agora é um argumento de plausibilidade — e ele é um argumento de plausibilidade, não uma demonstração. Pelo Resultado 2.10, \(\operatorname{div}\mathbf v\) é a taxa relativa de variação de volume de um elemento material. Se a massa dentro desse elemento não muda enquanto ele se move, então densidade e volume têm de variar em sentidos opostos, e a equação acima é exatamente essa contabilidade escrita por unidade de tempo.
Falta o que faz uma demonstração: um enunciado preciso do que significa “a massa dentro de um volume que se move com o material”, e uma regra para derivar no tempo uma integral cujo domínio muda com o tempo. Essa regra é o Teorema do Transporte (TTR), e ela abre a Unidade 3. A partir dela, a conservação de massa sai como primeira consequência, e o mesmo procedimento produz todas as demais leis de balanço do curso.
A equação fica, portanto, registrada como dívida: enunciada agora, demonstrada em U3.T1. Quem quiser adiantar a leitura encontra a conservação de massa em (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.15) e, nas duas formas, em (Ruderman 2019, seç. 3.7–3.8).
Exercícios propostos
Considere o campo de velocidade \[v_1 = 3k\,x_2, \qquad v_2 = k\,x_1, \qquad v_3 = k\,x_3,\] com \(k > 0\) constante.
(a) Escreva a matriz de \(\nabla\mathbf v\) e obtenha \([\mathbf D]\) e \([\mathbf W]\) pelo Resultado 2.7.
(b) O vetor dual, por dois caminhos. Obtenha \(\mathbf w\) a partir de \(W_{ij} = -\varepsilon_{ijk}w_k\), componente a componente. Depois obtenha \(\boldsymbol\omega = \operatorname{rot}\mathbf v\) diretamente do campo, e verifique o Resultado 2.8. Se os dois caminhos discordarem em um sinal, indique em qual deles está o erro.
(c) Direções principais. Obtenha os autovalores e as direções principais de \(\mathbf D\). Qual elemento material estica mais depressa, e a que taxa? Qual encurta? Sugestão: o bloco \(1\)–\(2\) de \([\mathbf D]\) se diagonaliza sozinho, e a direção \(\mathbf e_3\) já é principal.
(d) Volume. Calcule \(\operatorname{tr}\mathbf D\) e \(\operatorname{div}\mathbf v\), confirme que coincidem, e diga se um elemento material deste escoamento ganha ou perde volume. Use o Resultado 2.10 para justificar a resposta em uma frase.
(e) Um teste de sanidade. Este movimento é rígido? Responda usando o Resultado 2.11, e não a intuição.
(f) Verificação numérica. Com numpy, monte a matriz de \(\nabla\mathbf v\) para \(k = 1\), obtenha \([\mathbf D]\) e \([\mathbf W]\) por álgebra matricial, e recupere \(\mathbf w\) contraindo o símbolo de permutação com np.einsum, como no laboratório U1.L1. Diagonalize \([\mathbf D]\) com numpy.linalg.eigh e compare autovalores e autovetores com os do item (c). Informe a maior diferença obtida e comente a sua ordem de grandeza.
A Lista 1, completa
Com o exercício acima, a Lista 1 fica fechada em seis itens. O enunciado consolidado, com todos os roteiros, está em PS1 — enunciado.
| Item | Assunto | Proposto em |
|---|---|---|
| PS1.1 | Manipulações indiciais e a identidade entre os símbolos de permutação | U1.T1 |
| PS1.2 | Unicidade da decomposição simétrica e antissimétrica | U1.T1 |
| PS1.3 | Divergência de um tensor em coordenadas cilíndricas | U1.T2 |
| PS1.4 | Invariância do traço e dos demais invariantes principais | U1.T2 |
| PS1.5 | Descrições do movimento, derivada material e as duas famílias de curvas | U2.T1 |
| PS1.6 | Taxa de deformação, spin e direções principais | U2.T2 |
Estudo complementar, não avaliado. De (Ruderman 2019): os problemas 3.4, 3.5 e 3.8 tratam de deformação, mudança de volume e conservação de massa; os problemas 3.6 e 3.7 retomam linhas de corrente e trajetórias, assunto de U2.T1. Nenhum problema daquele capítulo trata da decomposição em \(\mathbf D\) e \(\mathbf W\) — esse conteúdo é coberto por PS1.6. As soluções completas encontram-se no próprio livro; por essa razão tais problemas são indicados como estudo dirigido e não como exercícios avaliados.