U2.T2 — Deformação, taxa de deformação e spin

MAE369 — Mecânica e Fenômenos de Transporte · IM/UFRJ · 2026/2

Onde estamos

Figura 1

Na sessão passada, uma partícula. Hoje, a vizinhança dela.

Slide de orientação, antes da abertura do primeiro bloco.

Abertura sugerida: “na sessão passada perguntamos o que uma partícula sente. Hoje perguntamos o que a vizinhança dela faz.”

Ainda não há forças. Isso vale ser dito em voz alta mais uma vez, porque a turma tende a esperar dinâmica a partir do momento em que aparece a palavra deformação.

Quadro 1 abre aqui e fica até o fim: escrever a pergunta da sessão e, logo abaixo, a expansão de Taylor. Não apagar nenhuma das duas.

01A vizinhança de um ponto

Um campo, e dois pontos dele

Deixar a figura falar antes de escrever qualquer coisa.

Em (a), reconhecer o objeto: é um campo vetorial, desenhado como a turma já viu em U2.T1. Nada de novo ainda. O campo é genérico de propósito — ele ainda não é velocidade nem deslocamento.

Em (b), a ampliação. Perguntar o que se vê: as setas são parecidas, mas não iguais.

Terminar com a pergunta, e só então virar o slide: o que sobra quando se subtrai f(x)?

O quadradinho tracejado de (b) não é decoração: é o elemento material que os blocos seguintes vão seguir. Não nomeá-lo agora; ele volta no bloco B.

A diferença, e as suas duas parcelas

Em (c), a diferença, com as duas leituras postas na mesma origem. As duas leituras continuam AZUIS, como na figura anterior: mesma cor, mesmo objeto.

Em (d), o ponto que costuma passar batido: essa diferença NÃO é (∇f)dx. Ela é (∇f)dx MAIS o resto. Neste desenho o resto vale 16,7% da parcela linear, porque dx é grande — ele só fica desprezível em comparação com a parcela linear, e não por ser pequeno em si.

A tabela das notas mostra a razão caindo pela metade cada vez que |dx| cai pela metade. É isso, e só isso, que faz do resto um termo de segunda ordem. Vale dizer o número em voz alta: quem sai da aula achando que a expansão é exata vai tropeçar na primeira estimativa de erro que fizer.

As cores: azul são as leituras, verde é a diferença, laranja é a parcela linear, vermelho é o resto. O vermelho para erro volta nos laboratórios numéricos.

A expansão de Taylor, para um campo qualquer

\[\begin{aligned} &f_i(\mathbf x + d\mathbf x) = f_i(\mathbf x) + \frac{\partial f_i}{\partial x_j}\,dx_j + O(|d\mathbf x|^2) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf f(\mathbf x + d\mathbf x) = \mathbf f(\mathbf x) + (\nabla\mathbf f)\,d\mathbf x + O(|d\mathbf x|^2) && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Vale para qualquer campo vetorial diferenciável \(\mathbf f\). O enunciado não escolhe descrição: o que muda é a variável em que se deriva.

Escrever o enunciado geral no Quadro 1, com f, e deixá-lo lá. Ele é o que a sessão aplica duas vezes.

Enunciar antes de aplicar é deliberado. Sem isso, a passagem do deslocamento para a velocidade parece troca de assunto, quando é a mesma conta com outro campo.

Nenhuma hipótese nova: f diferenciável. Para v isso já se assumiu em U2.T1, ao escrever D/Dt.

Duas aplicações, duas descrições

Campo	Descrição	Deriva-se em	O que sai dele
deslocamento \(\mathbf u\)	material	\(\mathbf X\)	a deformação \(\mathbf E\)
velocidade \(\mathbf v\)	espacial	\(\mathbf x\)	a taxa \(\mathbf D\) e o spin \(\mathbf W\)

As duas descrições são as de U2.T1: a material segue a partícula pelo rótulo \(\mathbf X\); a espacial fica no lugar \(\mathbf x\) e vê o material passar.

Este slide é o mapa do resto da aula, e ele existe porque a sessão MUDA de descrição no meio. Sem ele, o aluno vê ∇_X num bloco e ∇_x no outro sem saber que a troca foi deliberada.

Daqui em diante toda caixa que traz derivada carrega a etiqueta da sua descrição. Apontar isso uma vez, aqui, e não repetir.

A parcela que interessa

\[\begin{aligned} &v_i(\mathbf x + d\mathbf x, t) = v_i(\mathbf x, t) + \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\,dx_j + O(|d\mathbf x|^2) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf v(\mathbf x + d\mathbf x, t) = \mathbf v(\mathbf x, t) + (\nabla\mathbf v)\,d\mathbf x + O(|d\mathbf x|^2) && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Descrição espacial — as derivadas são tomadas em \(\mathbf x\).

Tudo o que distingue o vizinho da partícula está em \((\nabla\mathbf v)\,d\mathbf x\).

Segunda aplicação da tabela, escrita agora porque é dela que sai a pergunta da sessão. A primeira aplicação, a do deslocamento, é o bloco seguinte.

Circular a parcela (∇v)dx no Quadro 1. É a ela que os blocos seguintes voltam, um de cada vez.

A pergunta da sessão

O que \(\nabla\mathbf v\) sabe sobre o movimento da vizinhança de um ponto?

Ela permanece em aberto até o fecho da sessão.

Esta é a pergunta que o bloco C responde por completo. Registrar no Quadro 1 e não apagar.

Formato idêntico ao da caixa de U2.T1, de propósito: a turma reconhece o dispositivo.

02Deformação infinitesimal

Primeira aplicação: o deslocamento

Tome \(\mathbf f = \mathbf u\), na descrição material. O campo de deslocamento já foi definido em U2.T1:

\[\mathbf x = \mathbf X + \mathbf u(\mathbf X, t) .\]

O enunciado geral dá, com as derivadas em \(\mathbf X\):

\[d\mathbf x = d\mathbf X + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)\,d\mathbf X .\]

Neste bloco, o deslocamento e as suas derivadas são pequenos.

Ordem deliberada: primeiro o caso estático, que é mais fácil de desenhar, e só depois o caso das taxas. O bloco C repete esta mesma geometria com v no lugar de u — dizer isso ao fechar o bloco B faz o C ser uma releitura, e não conteúdo novo.

A hipótese infinitesimal é o que permite não distinguir derivar em X de derivar em x. Vale dizer que a distinção existe, e que ela é de segunda ordem.

O tensor que mede forma

\[\begin{aligned} &E_{ij} = \frac12\left(\frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i}\right) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf E = \tfrac12\left(\nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^{\mathsf T}\right) && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Simétrico por construção: seis componentes independentes. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.7; Ruderman 2019, seç. 3.4)

Descrição material — as derivadas são tomadas em \(\mathbf X\).

A parte antissimétrica descreve uma rotação infinitesimal e não muda comprimento nenhum; por isso quem mede forma é a parte simétrica.

Cobrar o retorno de PS1.2: a decomposição é ÚNICA, logo existe uma única parcela candidata. A escolha não é estética.

O que cada componente mede

Quadro 2: desenhar o quadradinho e ir escrevendo, ao lado de cada painel, a componente correspondente.

O fator 2 do painel (b) é o único ponto do bloco que costuma passar batido. Insistir: E12 é METADE do ângulo perdido.

Os dois significados, enunciados

1. Alongamento por unidade de comprimento na direção \(\mathbf n\): \[\frac{ds - dS}{dS} = n_i E_{ij} n_j = \mathbf n\cdot\mathbf E\,\mathbf n \qquad\text{(igual nas duas notações).}\]
2. Decréscimo do ângulo entre elementos em \(\mathbf e_1\) e \(\mathbf e_2\): vale \(2E_{12}\).

Descrição material — as derivadas são tomadas em \(\mathbf X\).

(Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.8)

Na literatura convivem as duas convenções para “deformação de cisalhamento”: E12 e 2E12. Neste curso vale a do enunciado, e vale sempre.

Fonte: lai2010 §3.8.

Dilatação

\[\begin{aligned} &\frac{\Delta(dV)}{dV} = E_{ii} = \frac{\partial u_i}{\partial X_i} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\frac{\Delta(dV)}{dV} = \operatorname{tr}\mathbf E = \operatorname{div}\mathbf u && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Como o traço não muda com a base, a dilatação também não muda. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.10)

Descrição material — as derivadas são tomadas em \(\mathbf X\).

O argumento é geométrico e está no slide seguinte. Não fazer a conta algébrica: ela não acrescenta nada ao que a figura mostra.

Ligação com PS1.4: a invariância do traço é exatamente o item (a) daquele exercício.

De onde vem a soma

O quadradinho cinza é o termo que a hipótese infinitesimal descarta.

Quadro 2, ao lado do desenho: escrever (1+E1)(1+E2)(1+E3) e expandir, para que se veja o termo de ordem superior ser cortado.

Fechar o bloco anunciando o próximo: “a mesma geometria, agora com v no lugar de u, e com taxas no lugar de deformações”.

03O gradiente de velocidade

Segunda aplicação: a velocidade

\[\begin{aligned} &\frac{D}{Dt}(dx_i) = \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\,dx_j && \text{(indicial)}\\[4pt] &\frac{D}{Dt}(d\mathbf x) = (\nabla\mathbf v)\,d\mathbf x && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Descrição espacial — as derivadas são tomadas em \(\mathbf x\).

As pontas do elemento movem-se com as velocidades dos seus próprios pontos, logo \(\frac{D}{Dt}(d\mathbf x) = \mathbf v(\mathbf x + d\mathbf x) - \mathbf v(\mathbf x)\), e a expansão do início da aula fecha a conta.

\(\nabla\mathbf v\) diz com que velocidade cada elemento material muda de comprimento e de direção. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.12)

Obtenção em uma linha: derive dx = x(X + dX, t) − x(X, t) no tempo com X fixo, e use o Resultado 2.1 de U2.T1.

Este slide é a ponte entre o bloco B e o C: o mesmo tensor da expansão de Taylor, lido agora como taxa. Fonte: lai2010 §3.12.

As duas parcelas

\[\begin{aligned} &\frac{\partial v_i}{\partial x_j} = D_{ij} + W_{ij} && \text{(indicial)}\\[2pt] &\quad D_{ij} = \tfrac12\!\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right)\!, \qquad W_{ij} = \tfrac12\!\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} - \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right) &&\\[6pt] &\nabla\mathbf v = \mathbf D + \mathbf W && \text{(direta)}\\[2pt] &\quad \mathbf D = \tfrac12\!\left(\nabla\mathbf v + (\nabla\mathbf v)^{\mathsf T}\right)\!, \qquad \mathbf W = \tfrac12\!\left(\nabla\mathbf v - (\nabla\mathbf v)^{\mathsf T}\right) && \end{aligned}\]

\(\mathbf D\): taxa de deformação. \(\mathbf W\): spin. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.13; Ruderman 2019, seç. 3.5–3.6)

Descrição espacial — as derivadas são tomadas em \(\mathbf x\).

Quadro 3, e esta é a parte viva da aula: escrever ∇v por extenso e separá-lo em duas parcelas diante da turma, somando e subtraindo a transposta. A edição em tempo real é a pedagogia deste bloco.

A caixa é o artefato mais citado desta sessão: ela reaparece em U3.T1, U4.T1, U4.T2, U5.T2 e U6.T1. Vale dizer isso.

Os NOMES das duas parcelas ainda não estão justificados. Prometer a justificativa para daqui a dois slides e cumprir.

A promessa de U1.T2 vence hoje

Em U1.T2, todo tensor antissimétrico ganhou um vetor dual:

\[\mathbf W\mathbf a = \mathbf w\times\mathbf a \qquad\text{para todo }\mathbf a, \qquad W_{ij} = -\varepsilon_{ijk}\,w_k .\]

Lá ele era um objeto algébrico. Aqui ele ganha significado cinemático.

Retomar a figura da ação do vetor dual, de U1.T2, se a turma hesitar.

Naquela sessão ficou registrado que o símbolo ω estava reservado. O próximo slide diz para quê.

O vetor dual do spin

\[\begin{aligned} &w_k = \tfrac12\,\varepsilon_{kij}\,\frac{\partial v_j}{\partial x_i} = \tfrac12\,\omega_k && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf w = \tfrac12\,\operatorname{rot}\mathbf v = \tfrac12\,\boldsymbol\omega && \text{(direta)} \end{aligned}\]

\(\boldsymbol\omega = \operatorname{rot}\mathbf v\) é a vorticidade. O vetor dual do spin é metade dela. (Ruderman 2019, seç. 3.6)

Quadro 3: fixar esta relação em destaque e não apagar. O fator ½ é pago uma única vez, aqui, e nunca mais.

A obtenção está nas notas: inverta W_ij = −ε_ijk w_k, substitua W do Resultado 2.7 e renomeie os índices mudos do segundo termo.

A vorticidade volta como objeto de estudo em U5.T2. Hoje ela é só o rotacional que fornece w. Não antecipar nada de circulação nem de Kelvin.

A decomposição local

\[\begin{aligned} &v_i(\mathbf x + d\mathbf x) \approx v_i(\mathbf x) + \varepsilon_{ijk}\,w_j\,dx_k + D_{ij}\,dx_j && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf v(\mathbf x + d\mathbf x) \approx \mathbf v(\mathbf x) + \mathbf w\times d\mathbf x + \mathbf D\,d\mathbf x && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Translação · rotação rígida · estiramento puro. Esta é a resposta completa à pergunta da sessão. (Ruderman 2019, seç. 3.6; Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.14)

Quadro 3, alinhado com as três figuras do próximo slide: cada parcela debaixo da sua figura.

Esta é a resposta completa à pergunta da sessão. Vale voltar ao Quadro 1 e apontar para ela agora, sem esperar o fecho.

Fonte principal: ruderman2019 §3.6, que é a apresentação mais limpa; as contas indiciais estão em lai2010 §3.12–3.14.

As três parcelas, em figura

Os rótulos já estão impressos sob cada painel. Antes de lê-los, perguntar, painel a painel, o que mudou: a posição, a orientação, a forma. Confirmar depois com o rótulo.

No painel 1 as quatro setas são iguais — é isso que caracteriza a translação. Nos outros dois elas variam com a posição.

Por que “rígida”

\[\frac{D}{Dt}\left(|d\mathbf x|^2\right) = 2\,d\mathbf x\cdot\mathbf D\,d\mathbf x + 2\,\underbrace{d\mathbf x\cdot\mathbf W\,d\mathbf x}_{=\,0}\]

Para \(\mathbf W\) antissimétrico e qualquer \(\mathbf a\): \(\mathbf a\cdot\mathbf W\mathbf a = \mathbf a\cdot\mathbf W^{\mathsf T}\mathbf a = -\,\mathbf a\cdot\mathbf W\mathbf a\).

Só \(\mathbf D\) muda comprimentos. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.13)

Conta curta, e vale fazê-la no quadro: um número igual ao seu oposto é zero.

É este cálculo que justifica os dois nomes prometidos: W não deforma, D deforma.

O que as componentes de D medem

1. Taxa de alongamento na direção \(\mathbf n\): \(\dfrac{1}{ds}\dfrac{D(ds)}{Dt} = \mathbf n\cdot\mathbf D\,\mathbf n\) \(\;\)(igual nas duas notações).
2. Taxa de decréscimo do ângulo entre \(\mathbf e_1\) e \(\mathbf e_2\): \(2D_{12}\).
3. \(\operatorname{tr}\mathbf D = \operatorname{div}\mathbf v\) é a taxa de variação relativa de volume.

Descrição espacial — as derivadas são tomadas em \(\mathbf x\).

(Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.13)

Os itens 1 e 2 são a tradução, para taxas, do Resultado 2.5. Dizer isso: não é teorema novo, é a mesma geometria com um ponto sobre a letra.

O item 3 é o que a Unidade 3 vai usar sem parar. Escrevê-lo no Quadro 1, ao lado da pergunta da sessão, porque ele volta no bloco F de hoje.

Direções principais

Direções principais de \(\mathbf D\): os seus autovetores (U1.T2).

A taxa de cisalhamento depende do par de direções, não do material.

D é simétrico e real, logo tem três direções principais perpendiculares — isso é U1.T2, e não precisa de nada novo.

O aviso do slide previne um erro comum: a turma tende a ler “cisalhamento” como propriedade do escoamento. Ainda não há material nenhum neste curso.

O campo-exemplo da unidade

\[v_1 = \alpha\,x_2, \qquad v_2 = \beta\,t, \qquad v_3 = 0 \qquad \leftrightarrow \qquad \mathbf v = \alpha\,x_2\,\mathbf e_1 + \beta\,t\,\mathbf e_2\]

\[[\nabla\mathbf v] = \begin{bmatrix} 0 & \alpha & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\]

O termo \(\beta t\) não aparece: ele é uniforme no espaço.

Mesmo campo de U2.T1, e é de propósito. A turma já sabe a trajetória e a aceleração dele; hoje ele é desmontado nas três parcelas.

A observação sobre βt é o que faz o gradiente ser entendido: uma parcela igual em todos os pontos translada a vizinhança sem deformá-la.

As duas partes, e o vetor dual

\[[\mathbf D] = \begin{bmatrix} 0 & \alpha/2 & 0\\ \alpha/2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}, \qquad [\mathbf W] = \begin{bmatrix} 0 & \alpha/2 & 0\\ -\alpha/2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\]

De \(W_{12} = -w_3\) vem \(\mathbf w = -\tfrac{\alpha}{2}\,\mathbf e_3\); e \(\operatorname{rot}\mathbf v = -\alpha\,\mathbf e_3\) confirma o fator \(\tfrac12\).

Fazer a conta no quadro, devagar, porque ela é o modelo do exercício proposto no fim da aula.

O sinal negativo diz que a vizinhança gira no sentido horário. Vale desenhar a rotação com a mão.

O que este escoamento faz, ponto a ponto

Autovalores de \(\mathbf D\): \(+\alpha/2\), \(-\alpha/2\), \(0\), com

\[\mathbf n_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(\mathbf e_1 + \mathbf e_2), \qquad \mathbf n_2 = \tfrac{1}{\sqrt2}(\mathbf e_1 - \mathbf e_2) .\]

\(\operatorname{tr}\mathbf D = 0\): cada elemento material conserva o volume e muda de forma o tempo todo.

Resumo a dizer em voz alta: translação, mais rotação horária de velocidade angular α/2, mais estiramento a 45° com taxa α/2.

O que se ganha numa direção principal, perde-se na outra — é isso que traço zero significa aqui.

Não usar a palavra incompressível: ela pertence a U5 e U6, e carrega hipótese sobre o material.

04Corpo rígido

A pergunta que ficou de U2.T1

Em U2.T1, o movimento rígido ganhou a sua equação cinemática:

\[\mathbf x(t) = \mathbf c(t) + \mathbf R(t)\,(\mathbf X - \mathbf c(0)) .\]

E ficou a pergunta: como esse movimento se enxerga em \(\nabla\mathbf v\)?

Retomar literalmente a caixa “Pergunta para a próxima sessão” do fim de U2.T1. Este bloco a responde, e nos dois sentidos.

Quadro 4 abre aqui.

A resposta, nos dois sentidos

Num corpo que ocupa uma região conexa — dois pontos quaisquer ligados por um caminho dentro dela:

1. movimento rígido \(\Rightarrow\) \[\begin{aligned} &v_i = \dot c_i + \varepsilon_{ijk}\,w_j\,(x_k - c_k) && \text{(indicial)}\\[2pt] &\mathbf v = \dot{\mathbf c} + \mathbf w\times(\mathbf x - \mathbf c) && \text{(direta)} \end{aligned}\] e \(\mathbf D \equiv \mathbf 0\);
2. \(\mathbf D \equiv \mathbf 0\) \(\Rightarrow\) o movimento é rígido.

Descrição espacial — as derivadas são tomadas em \(\mathbf x\).

As duas direções são demonstradas nesta aula, e as duas são curtas. Nenhuma lacuna fica pendente: a PS1 já está fechada em seis itens, e nada novo é atribuído aqui.

Ida: a rotação entrega um tensor antissimétrico

Derivando a equação cinemática e eliminando \(\mathbf X\):

\[\mathbf v = \dot{\mathbf c} + \boldsymbol\Omega\,(\mathbf x - \mathbf c), \qquad \boldsymbol\Omega \equiv \dot{\mathbf R}\,\mathbf R^{\mathsf T} .\]

De \(\mathbf R\mathbf R^{\mathsf T} = \mathbf I\) segue \(\boldsymbol\Omega + \boldsymbol\Omega^{\mathsf T} = \mathbf 0\). Logo \(\nabla\mathbf v = \boldsymbol\Omega\) e \(\mathbf D = \mathbf 0\).

Quadro 4: fazer as três linhas por extenso. A eliminação de X usa que R é ortogonal, o que é U1.T1 e já está pago.

A parte simétrica de um tensor antissimétrico é nula — não há o que calcular.

Volta: W não pode variar no espaço

Com \(\mathbf D \equiv \mathbf 0\) vale \(\partial v_i/\partial x_j = W_{ij}\), e então

\[\frac{\partial W_{ij}}{\partial x_k} = \frac{\partial W_{ik}}{\partial x_j} = -\frac{\partial W_{kj}}{\partial x_i} = \frac{\partial W_{jk}}{\partial x_i} = \frac{\partial W_{ji}}{\partial x_k} = -\frac{\partial W_{ij}}{\partial x_k} .\]

Cada passo faz uma de duas coisas: troca a ordem de duas derivadas, ou aplica \(W_{ab} = -W_{ba}\).

Um número igual ao seu oposto é zero: \(\mathbf W\) é constante.

Cada passo é uma de duas coisas: trocar a ordem de duas derivadas, ou usar W_ab = −W_ba. Fazer a cadeia no quadro, marcando qual das duas justifica cada igualdade.

Integrando com W constante, sai v(x) = v(x0) + W(x − x0), que é a forma do item 1. A conexidade é usada aqui, ao integrar ao longo de um caminho dentro do corpo.

O rígido, em figura

A figura afirma a invariância das distâncias, que é a leitura física de D ≡ 0.

Perguntar à turma: e se o corpo esticasse um pouco? Resposta: a distância PQ mudaria, e D deixaria de ser nula.

Nove graus de liberdade viram seis

Meio contínuo geral	Corpo rígido
\(\nabla\mathbf v\): nove componentes	\(\mathbf W\): três componentes
variando de ponto para ponto	as mesmas em todo o corpo
mais a velocidade de cada ponto	mais três da velocidade de um ponto

A mecânica dos corpos rígidos é o caso degenerado da mecânica do contínuo, e não o contrário.

Este é o aparte protegido do bloco, e ele fecha o item de corpos rígidos da ementa oficial. Cinco minutos, no máximo dez.

A ordem lógica é a inversa da ordem histórica, e vale dizer isso com todas as letras: a turma chega tendo estudado o rígido primeiro.

Um teste de sanidade que volta em U4

Movimento rígido \(\Rightarrow \mathbf D = \mathbf 0\).

Qualquer descrição do comportamento de um material que dependa de \(\mathbf D\) atribui, automaticamente, efeito nulo a um movimento rígido.

Semente para U4: é este argumento que justifica a dependência em D, e não em ∇v nem em W. Não desenvolver mais do que a frase do slide.

05Deformação finita, em sobrevoo

O que muda neste bloco

Até aqui: deformações infinitesimais (\(\mathbf E\)) ou taxas instantâneas (\(\mathbf D\)).

Agora: a descrição exata, válida para deformações de qualquer tamanho.

Enunciados e figuras, sem demonstrações. O material completo está no handout que acompanha a sessão.

Bloco de sobrevoo, por contrato do L2-U2: dezessete minutos. Se o calendário apertar, ele cai para dez e o handout carrega o resto; D e W nunca são cortados.

Dizer por que este bloco existe: U4.T1 cita F e a decomposição polar pelo nome, e sem este sobrevoo aquela sessão pagaria vinte minutos de preparação.

O gradiente de deformação

\[\begin{aligned} &F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j}, \qquad dx_i = F_{ij}\,dX_j && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf F = \nabla_{\mathbf X}\,\mathbf x, \qquad d\mathbf x = \mathbf F\,d\mathbf X && \text{(direta)} \end{aligned}\]

A invertibilidade assumida em U2.T1 equivale a \(\det\mathbf F > 0\). (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.18)

Descrição material — deriva-se em \(\mathbf X\).

O bloco corre em slides e handout: o quadro fica reservado às partes vivas, que são os blocos C e D.

Fechar o círculo com U2.T1: lá a invertibilidade foi hipótese sem número; aqui ela ganha um número.

F é o retrato linear local

Mesmo diagrama de dois planos de U2.T1, agora com um quadradinho material no lugar do ponto marcado.

O paralelogramo desenhado é a imagem exata do quadradinho, calculada pela mesma aplicação afim que gerou a figura de U2.T1.

Decomposição polar

\[\mathbf F = \mathbf R\,\mathbf U = \mathbf V\,\mathbf R \qquad\text{(igual nas duas notações),}\] com \(\mathbf R\) ortogonal própria (\(\det\mathbf R = +1\)) e \(\mathbf U\), \(\mathbf V\) simétricos e positivos definidos (\(\mathbf a\cdot\mathbf U\mathbf a > 0\) para \(\mathbf a \neq \mathbf 0\)). A decomposição é única.

Lê-se da direita para a esquerda: estica, depois gira. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.21)

Ortogonal PRÓPRIA, e não apenas ortogonal: uma reflexão não é um movimento admissível, e det F > 0 é o que a exclui.

R ortogonal é U1.T1; U simétrico positivo definido tem direções principais, que é U1.T2. Nada de novo além do enunciado.

Os dois passos, em figura

A cruz laranja dentro de cada figura é o par de direções principais de U: ela fica parada no primeiro passo e gira no segundo. É a cruz que carrega a afirmação, e vale apontá-la.

O tensor de Cauchy-Green

\[\begin{aligned} &C_{ij} = F_{ki}\,F_{kj}, \qquad dx^{(1)}_i\,dx^{(2)}_i = dX^{(1)}_i\,C_{ij}\,dX^{(2)}_j && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf C = \mathbf F^{\mathsf T}\mathbf F = \mathbf U^2, \qquad d\mathbf x^{(1)}\!\cdot d\mathbf x^{(2)} = d\mathbf X^{(1)}\!\cdot \mathbf C\,d\mathbf X^{(2)} && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Comprimentos e ângulos da configuração atual, escritos em variáveis materiais (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.23). \(\mathbf C = \mathbf I\) caracteriza os movimentos rígidos (Ruderman 2019, seç. 3.4).

A fórmula de Nanson, para áreas, está no handout e nas notas; ela é só exibida, e será usada a partir de U3.T2.

C carrega comprimentos e ângulos da configuração atual escritos em variáveis materiais. Uma frase, sem contas.

O fator de volume

\[dV = (\det\mathbf F)\,dV_0 \qquad\text{(igual nas duas notações).}\]

\(\mathbf E\) e \(\mathbf D\) são as versões linearizada e instantânea desta maquinaria. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.27–3.28)

Fechar o bloco com essa frase e com o handout na mão: enunciados, figuras e um mapa de onde cada objeto é usado.

A fórmula de Nanson, para áreas, não está no deck: ela está nas notas e no handout, e passa a ser usada a partir de U3.T2.

Não entrar em objetividade material: ela é de U4.T1.

06Conservação de massa

Uma equação que hoje não será demonstrada

\[\begin{aligned} &\frac{D\rho}{Dt} + \rho\,\frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0 && \text{(indicial)}\\[4pt] &\frac{D\rho}{Dt} + \rho\,\operatorname{div}\mathbf v = 0 && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Descrição espacial — \(\rho\) e \(\mathbf v\) são campos de \(\mathbf x\).

\(\rho\) é a densidade do meio: a massa por unidade de volume.

Quadro 1 ganha esta equação, ao lado da pergunta da sessão, marcada como dívida assumida. Não apagar até o fim da aula.

Dizer explicitamente que ela NÃO será demonstrada hoje, e que a espera é proposital.

O argumento de plausibilidade

\(\operatorname{div}\mathbf v\) é a taxa relativa de variação de volume (Resultado 2.10). Massa fixa em volume que encolhe: a densidade sobe.

Dizer com todas as letras que isto é plausibilidade, e não demonstração. A turma aceita a figura depressa demais, e é justamente aqui que se ganha o efeito de U3.T1.

O que falta é o que faz uma demonstração: dizer com precisão o que é “a massa dentro de um volume que se move com o material”, e ter uma regra para derivar no tempo uma integral cujo domínio muda com o tempo.

O que falta tem nome

A regra que deriva no tempo uma integral sobre um volume que se move com o material é o Teorema do Transporte (TTR).

Ele abre a próxima sessão, U3.T1. A conservação de massa é a sua primeira consequência, e o mesmo procedimento produz todas as demais leis de balanço do curso.

Nome fixo, e é assim que ele é citado no curso inteiro: Teorema do Transporte (TTR).

Não antecipar nada do enunciado nem da demonstração. O valor de U3.T1 depende de a dívida chegar lá em aberto.

Leitura antecipada opcional, para quem quiser: lai2010 §3.15 e ruderman2019 §3.7–3.8, que fazem as duas formas.

07Fecho

A Lista 1 está completa

Item	Assunto	Proposto em
PS1.1	Símbolos de permutação	U1.T1
PS1.2	Decomposição simétrica e antissimétrica	U1.T1
PS1.3	Divergência em cilíndricas	U1.T2
PS1.4	Invariantes sob mudança de base	U1.T2
PS1.5	Descrições e derivada material	U2.T1
PS1.6	Taxa de deformação e spin	U2.T2

O enunciado completo de cada item está nas notas.

Aviso administrativo: data de entrega conforme o calendário da disciplina. Não citar datas além disso.

O enunciado consolidado é uma página própria, com os seis itens e os roteiros. A lista de auto-estudo de ruderman2019 vai em apêndice e não vale nota.

Exercício proposto: PS1.6

Para o campo \(v_1 = 3k\,x_2\), \(v_2 = k\,x_1\), \(v_3 = k\,x_3\), com \(k > 0\): obtenha \(\mathbf D\) e \(\mathbf W\); obtenha \(\mathbf w\) por dois caminhos e verifique o Resultado 2.8; obtenha as direções principais de \(\mathbf D\); decida se o elemento material ganha ou perde volume; e verifique tudo com numpy.

O enunciado completo, com os seis roteiros, está nas notas.

A conta-modelo é a do campo-exemplo, feita no bloco C e ainda no quadro. Vale apontar para ela agora.

O item (e) é o teste de sanidade: este movimento é rígido? A resposta se obtém pelo Resultado 2.11, e não pela intuição.

A pergunta da sessão, respondida

\[\mathbf v(\mathbf x + d\mathbf x) \approx \mathbf v(\mathbf x) + \mathbf w\times d\mathbf x + \mathbf D\,d\mathbf x \qquad\text{(igual nas duas notações; forma indicial no Resultado 2.9).}\] Translação, rotação rígida e estiramento puro — e nada mais.

Reler o Quadro 1 inteiro: a pergunta, a expansão de Taylor, a relação w = ½ω, e a equação da massa em dívida.

Três coisas fecham hoje: a pergunta da sessão, a promessa do vetor dual de U1.T2 e o item da ementa sobre corpos rígidos.

O que vem em U3

Até agora, nenhuma força apareceu. Toda a cinemática foi construída sem elas.

Na Unidade 3 a física entra — e entra por um único procedimento, repetido: escrever um balanço num volume material, aplicar o Teorema do Transporte, e localizar.

Fecho do arco cinemático. A frase sobre o procedimento único é a espinha do curso inteiro, e é a primeira vez que ela é dita por extenso à turma.

Deixar a equação da massa no quadro até o último minuto.

Referências

Lai, W. Michael, David Rubin, e Erhard Krempl. 2010. Introduction to Continuum Mechanics. 4º ed. Butterworth-Heinemann.

Ruderman, Michael S. 2019. Fluid Dynamics and Linear Elasticity: A First Course in Continuum Mechanics. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer.