Formulário — coordenadas curvilíneas
Operadores diferenciais em coordenadas cilíndricas e esféricas · MAE369 · IM/UFRJ
Documento de consulta permanente. Reúne os operadores diferenciais em coordenadas cilíndricas e esféricas, na convenção adotada pelo curso. As deduções completas encontram-se em (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.33–2.35).
Convenções de que estas fórmulas dependem
Uma fórmula curvilínea só faz sentido junto das convenções sob as quais foi escrita. As quatro abaixo valem em todas as linhas deste formulário.
1. Bases locais ortonormais. Em cada ponto, \(\{\mathbf e_r,\mathbf e_\theta,\mathbf e_z\}\) (cilíndricas) e \(\{\mathbf e_r,\mathbf e_\theta,\mathbf e_\phi\}\) (esféricas) formam uma base ortonormal positivamente orientada. Ela muda de ponto para ponto.
2. Ângulos. Em coordenadas cilíndricas \((r,\theta,z)\), \(\theta\) é o ângulo azimutal, medido no plano \(x_1x_2\); \(r\) é a distância ao eixo \(x_3\). Em coordenadas esféricas \((r,\theta,\phi)\), \(\theta\) é medido a partir do eixo \(x_3\) (colatitude) e \(\phi\) é o ângulo azimutal; \(r\) é a distância à origem.
3. Ordem dos índices em \(\nabla\mathbf v\). \((\nabla\mathbf v)_{ij} = \partial v_i/\partial x_j\) — o primeiro índice é o da componente do campo, o segundo é o da derivada.
4. Índice contraído em \(\operatorname{div}\mathbf T\). \((\operatorname{div}\mathbf T)_i = \partial T_{ij}/\partial x_j\) — a contração é no segundo índice.
Em cilíndricas, \(\theta\) é o ângulo azimutal. Em esféricas, \(\theta\) é a colatitude, medida a partir do eixo \(x_3\), e o azimutal é \(\phi\). Essa é a convenção de (Lai, Rubin, e Krempl 2010) e é a do curso, mas ela não é universal: há textos que trocam os nomes dos dois ângulos esféricos. Ao comparar com outra fonte, verifique primeiro qual ângulo é medido a partir do eixo.
Sobre a convenção 3 e a convenção 4: (Ruderman 2019, seç. 2.11) adota ambas transpostas. Para um tensor simétrico as duas versões de \(\operatorname{div}\mathbf T\) coincidem; para um tensor qualquer, não.
Coordenadas cilíndricas \((r,\theta,z)\)
Derivadas dos vetores de base
\[\frac{\partial\mathbf e_r}{\partial\theta} = \mathbf e_\theta, \qquad \frac{\partial\mathbf e_\theta}{\partial\theta} = -\,\mathbf e_r, \qquad \frac{\partial\mathbf e_z}{\partial\theta} = \mathbf 0,\]
e todas as derivadas em relação a \(r\) e a \(z\) são nulas. Todo termo com \(1/r\) nas fórmulas seguintes provém destas três derivadas.
Gradiente de um campo escalar
\[\nabla\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial r}\,\mathbf e_r + \frac{1}{r}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\,\mathbf e_\theta + \frac{\partial\varphi}{\partial z}\,\mathbf e_z\]
Gradiente de um campo vetorial
\[[\nabla\mathbf v] = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial v_r}{\partial r} & \dfrac{1}{r}\left(\dfrac{\partial v_r}{\partial\theta} - v_\theta\right) & \dfrac{\partial v_r}{\partial z} \\[10pt] \dfrac{\partial v_\theta}{\partial r} & \dfrac{1}{r}\left(\dfrac{\partial v_\theta}{\partial\theta} + v_r\right) & \dfrac{\partial v_\theta}{\partial z} \\[10pt] \dfrac{\partial v_z}{\partial r} & \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v_z}{\partial\theta} & \dfrac{\partial v_z}{\partial z} \end{bmatrix}\]
Divergência de um campo vetorial
\[\operatorname{div}\mathbf v = \frac{\partial v_r}{\partial r} + \frac{1}{r}\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} + v_r\right) + \frac{\partial v_z}{\partial z}\]
Rotacional de um campo vetorial
\[\begin{aligned} \operatorname{rot}\mathbf v &= \left(\frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial\theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial z}\right)\mathbf e_r + \left(\frac{\partial v_r}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial r}\right)\mathbf e_\theta \\[4pt] &\quad + \left(\frac{\partial v_\theta}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r} - \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial\theta}\right)\mathbf e_z \end{aligned}\]
Divergência de um campo tensorial
\[\begin{aligned} (\operatorname{div}\mathbf T)_r &= \frac{\partial T_{rr}}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial T_{r\theta}}{\partial\theta} + \frac{T_{rr} - T_{\theta\theta}}{r} + \frac{\partial T_{rz}}{\partial z} \\[6pt] (\operatorname{div}\mathbf T)_\theta &= \frac{\partial T_{\theta r}}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial T_{\theta\theta}}{\partial\theta} + \frac{T_{r\theta} + T_{\theta r}}{r} + \frac{\partial T_{\theta z}}{\partial z} \\[6pt] (\operatorname{div}\mathbf T)_z &= \frac{\partial T_{zr}}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial T_{z\theta}}{\partial\theta} + \frac{\partial T_{zz}}{\partial z} + \frac{T_{zr}}{r} \end{aligned}\]
Laplaciano de um campo escalar
\[\Delta\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial\varphi}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial\theta^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}\]
Laplaciano de um campo vetorial
\[\begin{aligned} (\Delta\mathbf v)_r &= \frac{\partial^2 v_r}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 v_r}{\partial\theta^2} + \frac{\partial^2 v_r}{\partial z^2} - \frac{v_r}{r^2} - \frac{2}{r^2}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} \\[6pt] (\Delta\mathbf v)_\theta &= \frac{\partial^2 v_\theta}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 v_\theta}{\partial\theta^2} + \frac{\partial^2 v_\theta}{\partial z^2} - \frac{v_\theta}{r^2} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial v_r}{\partial\theta} \\[6pt] (\Delta\mathbf v)_z &= \frac{\partial^2 v_z}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 v_z}{\partial\theta^2} + \frac{\partial^2 v_z}{\partial z^2} \end{aligned}\]
Coordenadas esféricas \((r,\theta,\phi)\)
Lembre-se: \(\theta\) é medido a partir do eixo \(x_3\), e \(\phi\) é o ângulo azimutal.
Gradiente de um campo escalar
\[\nabla\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial r}\,\mathbf e_r + \frac{1}{r}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\,\mathbf e_\theta + \frac{1}{r\operatorname{sen}\theta}\frac{\partial\varphi}{\partial\phi}\,\mathbf e_\phi\]
Gradiente de um campo vetorial
\[[\nabla\mathbf v] = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial v_r}{\partial r} & \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v_r}{\partial\theta} - \dfrac{v_\theta}{r} & \dfrac{1}{r\operatorname{sen}\theta}\dfrac{\partial v_r}{\partial\phi} - \dfrac{v_\phi}{r} \\[10pt] \dfrac{\partial v_\theta}{\partial r} & \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v_\theta}{\partial\theta} + \dfrac{v_r}{r} & \dfrac{1}{r\operatorname{sen}\theta}\dfrac{\partial v_\theta}{\partial\phi} - \dfrac{v_\phi\operatorname{cotg}\theta}{r} \\[10pt] \dfrac{\partial v_\phi}{\partial r} & \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v_\phi}{\partial\theta} & \dfrac{1}{r\operatorname{sen}\theta}\dfrac{\partial v_\phi}{\partial\phi} + \dfrac{v_r}{r} + \dfrac{v_\theta\operatorname{cotg}\theta}{r} \end{bmatrix}\]
Divergência de um campo vetorial
\[\operatorname{div}\mathbf v = \frac{1}{r^2}\frac{\partial\left(r^2 v_r\right)}{\partial r} + \frac{1}{r\operatorname{sen}\theta} \frac{\partial\left(v_\theta\operatorname{sen}\theta\right)}{\partial\theta} + \frac{1}{r\operatorname{sen}\theta}\frac{\partial v_\phi}{\partial\phi}\]
Rotacional de um campo vetorial
\[\begin{aligned} \operatorname{rot}\mathbf v &= \left(\frac{v_\phi\operatorname{cotg}\theta}{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\phi}{\partial\theta} - \frac{1}{r\operatorname{sen}\theta}\frac{\partial v_\theta}{\partial\phi} \right)\mathbf e_r \\[4pt] &\quad + \left(\frac{1}{r\operatorname{sen}\theta}\frac{\partial v_r}{\partial\phi} - \frac{1}{r}\frac{\partial\left(r v_\phi\right)}{\partial r} \right)\mathbf e_\theta + \left(\frac{1}{r}\frac{\partial\left(r v_\theta\right)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial\theta} \right)\mathbf e_\phi \end{aligned}\]
Divergência de um campo tensorial
\[\begin{aligned} (\operatorname{div}\mathbf T)_r &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial\left(r^2 T_{rr}\right)}{\partial r} + \frac{1}{r\operatorname{sen}\theta} \frac{\partial\left(T_{r\theta}\operatorname{sen}\theta\right)}{\partial\theta} + \frac{1}{r\operatorname{sen}\theta}\frac{\partial T_{r\phi}}{\partial\phi} - \frac{T_{\theta\theta} + T_{\phi\phi}}{r} \\[8pt] (\operatorname{div}\mathbf T)_\theta &= \frac{1}{r^3}\frac{\partial\left(r^3 T_{\theta r}\right)}{\partial r} + \frac{1}{r\operatorname{sen}\theta} \frac{\partial\left(T_{\theta\theta}\operatorname{sen}\theta\right)}{\partial\theta} + \frac{1}{r\operatorname{sen}\theta}\frac{\partial T_{\theta\phi}}{\partial\phi} \\[2pt] &\quad + \frac{T_{r\theta} - T_{\theta r} - T_{\phi\phi}\operatorname{cotg}\theta}{r} \\[8pt] (\operatorname{div}\mathbf T)_\phi &= \frac{1}{r^3}\frac{\partial\left(r^3 T_{\phi r}\right)}{\partial r} + \frac{1}{r\operatorname{sen}\theta} \frac{\partial\left(T_{\phi\theta}\operatorname{sen}\theta\right)}{\partial\theta} + \frac{1}{r\operatorname{sen}\theta}\frac{\partial T_{\phi\phi}}{\partial\phi} \\[2pt] &\quad + \frac{T_{r\phi} - T_{\phi r} + T_{\theta\phi}\operatorname{cotg}\theta}{r} \end{aligned}\]
Laplaciano de um campo escalar
\[\Delta\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial\varphi}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial\theta^2} + \frac{\operatorname{cotg}\theta}{r^2}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} + \frac{1}{r^2\operatorname{sen}^2\theta}\frac{\partial^2\varphi}{\partial\phi^2}\]
A expressão de \(\Delta\mathbf v\) em coordenadas esféricas é longa e não é utilizada em nenhuma sessão deste curso. Quando necessária, ela se obtém de \[\Delta\mathbf v = \nabla\left(\operatorname{div}\mathbf v\right) - \operatorname{rot}\left(\operatorname{rot}\mathbf v\right),\] com as fórmulas acima, e está escrita por extenso em (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.35).
Procedência e verificação
Todas as fórmulas foram transcritas de (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 2.34–2.35) e reescritas nas convenções declaradas nas convenções de que estas fórmulas dependem.
A linha de \((\operatorname{div}\mathbf T)_r\) em coordenadas cilíndricas é obtida do zero no exercício PS1.3 da Lista 1: o enunciado conduz a dedução em cinco passos e o passo final compara o resultado com a linha correspondente deste formulário.