Lista 1 — enunciado
Unidades 1 e 2 · MAE369 · IM/UFRJ · 2026/2
Esta é a Lista 1 da disciplina, com seis itens. Ela cobre as Unidades 1 e 2: notação indicial e álgebra tensorial, cálculo tensorial, e cinemática do contínuo. A data de entrega segue o calendário da disciplina.
Como esta lista é para ser feita
Todos os itens são derivações guiadas: o enunciado conduz a dedução por passos, e indica em qual resultado das notas cada passo se apoia. Escreva a justificativa de cada passo, e não apenas a conta. Onde um item pede verificação numérica, entregue o código junto da resposta, com o valor obtido e um comentário sobre a sua ordem de grandeza.
Cada item traz, no cabeçalho desta página, a sessão em que foi proposto. As notas daquela sessão são a referência primeira; os livros vêm depois dela.
| Item | Assunto | Proposto em |
|---|---|---|
| PS1.1 | Manipulações indiciais e a identidade entre os símbolos de permutação | U1.T1 |
| PS1.2 | Unicidade da decomposição simétrica e antissimétrica | U1.T1 |
| PS1.3 | Divergência de um tensor em coordenadas cilíndricas | U1.T2 |
| PS1.4 | Invariância do traço e dos demais invariantes principais | U1.T2 |
| PS1.5 | Descrições do movimento, derivada material e as duas famílias de curvas | U2.T1 |
| PS1.6 | Taxa de deformação, spin e direções principais | U2.T2 |
Unidade 1 — notação indicial e álgebra tensorial
PS1.1
Proposto em U1.T1.
(a) Verifique os casos 3 e 4 da demonstração do Resultado 1.1, apresentados na tabela daquela demonstração. Justifique, em cada caso, por que ambos os lados assumem o valor indicado.
(b) Usando o resultado de (a), mostre que \[\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\,\delta_{kn} \qquad\text{e}\qquad \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk} = 6 .\] Sugestão: faça \(m = j\) no Resultado 1.1 e some sobre \(j\); em seguida repita a operação sobre a expressão obtida.
(c) Usando o Resultado 1.1, e não argumentos geométricos, mostre que \[\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).\] Sugestão: escreva o lado esquerdo em componentes, com dois símbolos de permutação; aplique o Resultado 1.1; use os deltas resultantes para substituir índices.
PS1.2
Proposto em U1.T1.
Um tensor \(\mathbf{S}\) é simétrico se \(\mathbf{S}^{\mathsf T} = \mathbf{S}\), e \(\mathbf{A}\) é antissimétrico se \(\mathbf{A}^{\mathsf T} = -\mathbf{A}\).
(a) Mostre que todo tensor \(\mathbf{T}\) admite a decomposição \(\mathbf{T} = \mathbf{S} + \mathbf{A}\), com \(\mathbf{S}\) simétrico e \(\mathbf{A}\) antissimétrico. Sugestão: some e subtraia \(\tfrac12\mathbf{T}^{\mathsf T}\).
(b) Mostre que essa decomposição é única. Sugestão: suponha \(\mathbf{S}_1 + \mathbf{A}_1 = \mathbf{S}_2 + \mathbf{A}_2\), transponha a igualdade e combine as duas expressões.
(c) Escreva \(\mathbf{S}\) e \(\mathbf{A}\) em componentes. Quantas componentes independentes possui cada um?
Este exercício utiliza apenas o transposto e a linearidade, introduzidos nesta sessão.
Unidade 1 — cálculo tensorial
PS1.3
Proposto em U1.T2.
O objetivo é obter, do zero, a componente radial de \(\operatorname{div}\mathbf T\) em coordenadas cilíndricas, e conferir o resultado contra a linha correspondente do formulário. Considere um campo tensorial \(\mathbf T = T_{\alpha\beta}\,\mathbf e_\alpha\mathbf e_\beta\), com \(\alpha,\beta \in \{r,\theta,z\}\), e a base local \(\{\mathbf e_r, \mathbf e_\theta, \mathbf e_z\}\).
(a) Escreva as seis derivadas \(\partial\mathbf e_\alpha/\partial\theta\) e \(\partial\mathbf e_\alpha/\partial r\), para \(\alpha \in \{r,\theta,z\}\). Três delas estão na seção O que muda, e o que não muda; obtenha as outras três e justifique cada uma em uma linha.
(b) O operador \(\nabla\) em coordenadas cilíndricas é \[\nabla = \mathbf e_r\,\frac{\partial}{\partial r} + \mathbf e_\theta\,\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} + \mathbf e_z\,\frac{\partial}{\partial z} .\] Justifique o fator \(1/r\) do segundo termo comparando o deslocamento \(d\mathbf x = dr\,\mathbf e_r + r\,d\theta\,\mathbf e_\theta + dz\,\mathbf e_z\) com a identidade \(d\varphi = \nabla\varphi\cdot d\mathbf x\).
(c) Usando o resultado de (b), escreva \(\operatorname{div}\mathbf T\) como a contração de \(\nabla\) com \(\mathbf T\) segundo a convenção fixada nas duas convenções de cálculo, e identifique quais termos exigem derivar os vetores de base.
(d) Usando (a) e (c), obtenha \((\operatorname{div}\mathbf T)_r\), isto é, a componente segundo \(\mathbf e_r\). Sugestão: apenas os termos em que uma derivada de base produz \(\mathbf e_r\) contribuem além dos termos “cartesianos”; pelo item (a), são poucos.
(e) Compare o resultado de (d) com a linha correspondente do formulário. Se houver discrepância, indique em qual dos passos anteriores ela se origina.
Este exercício tem roteiro mais detalhado que os demais porque a dedução correspondente não é feita em aula.
PS1.4
Proposto em U1.T2.
Sejam \(\{\mathbf e_i\}\) e \(\{\mathbf e'_i\}\) duas bases ortonormais relacionadas pelo tensor ortogonal \(\mathbf Q\), com \(Q_{ij} = \mathbf e_i\cdot\mathbf e'_j\), de modo que \(T'_{ij} = Q_{mi}Q_{nj}T_{mn}\) (U1.T1, lei de transformação).
(a) Mostre que \(I_1' = I_1\), isto é, que \(T'_{ii} = T_{ii}\). Sugestão: faça \(j = i\) na lei de transformação e use \(Q_{mi}Q_{ni} = \delta_{mn}\).
(b) Mostre que \(T'_{ij}T'_{ji} = T_{ij}T_{ji}\). Sugestão: escreva as duas transformações, agrupe os quatro fatores \(Q\) em dois pares e aplique duas vezes a relação de ortogonalidade usada em (a).
(c) Conclua de (a) e (b) que \(I_2' = I_2\).
(d) Mostre que \(I_3' = I_3\). Sugestão: na forma direta, \([\mathbf T]' = [\mathbf Q]^{\mathsf T}[\mathbf T][\mathbf Q]\); use que o determinante de um produto é o produto dos determinantes e que \(\det\mathbf Q = \pm 1\) (Resultado 1.2).
(e) Verificação numérica. Construa uma matriz \(3\times3\) simétrica qualquer e uma rotação \(\mathbf Q\) qualquer, calcule \([\mathbf T]'\) e compare os três invariantes de \([\mathbf T]\) e de \([\mathbf T]'\). Informe as diferenças obtidas e comente sua ordem de grandeza. A mesma verificação é feita no laboratório U1.L1, com numpy.
Unidade 2 — cinemática do contínuo
PS1.5
Proposto em U2.T1.
Considere o campo de velocidade plano \[v_1 = U_0\left(1 + \lambda t\right), \qquad v_2 = \gamma\,x_1, \qquad v_3 = 0,\] com \(U_0 > 0\), \(\lambda > 0\) e \(\gamma > 0\) constantes, e \(t \geq 0\).
(a) As lacunas da derivação. Obtenha o movimento \(\mathbf x = \mathbf x(\mathbf X, t)\) integrando \(\left.\partial x_i/\partial t\right|_{\mathbf X} = v_i\) com \(\mathbf x = \mathbf X\) em \(t = 0\). Sugestão: a equação de \(x_1\) não envolve \(x_2\); resolva-a primeiro. Em seguida, exiba explicitamente a inversa \(\mathbf X = \mathbf X(\mathbf x, t)\) e verifique que ela existe para todo \(t \geq 0\). Identifique em qual passo da derivação do Resultado 2.1 essa inversa é usada.
(b) Da descrição material para a espacial. Escreva a velocidade na descrição material, \(\hat{\mathbf v}(\mathbf X, t)\), derivando o movimento obtido em (a). Depois, usando a inversa, converta-a de volta e confirme que o resultado é o campo espacial dado no enunciado.
(c) A aceleração por dois caminhos. Calcule \(\mathbf a\) pelo Resultado 2.2, componente a componente na notação indicial, e confira compactando na notação direta. Em seguida calcule \(\mathbf a\) de novo, derivando duas vezes o movimento de (a) com \(\mathbf X\) fixo. Os dois resultados devem coincidir; se não coincidirem, indique em qual passo está o erro.
(d) Um campo transportado. A temperatura do meio é \(\theta(\mathbf x, t) = \theta_0 + G\,x_2\), com \(\theta_0\) e \(G\) constantes. O papel de \(G\) aqui é o mesmo da cena de abertura — um gradiente fixo de temperatura — agora ao longo de \(x_2\). Calcule \(D\theta/Dt\). Explique, em uma frase, por que um termômetro parado não registra variação alguma enquanto uma partícula registra.
(e) As duas famílias. Para um instante \(t_0 > 0\) fixo, obtenha as linhas de corrente em forma fechada, e compare-as com as trajetórias que você já tem de (a). Depois use o Resultado 2.3 para decidir onde as duas famílias coincidem e onde não coincidem. Atenção: a resposta não é a mesma em todo o plano — examine separadamente os pontos com \(x_1 \neq 0\) e os pontos da reta \(x_1 = 0\), e diga o que distingue os dois casos.
(f) Verificação numérica. Com numpy, integre numericamente a trajetória de uma partícula a partir de \(\mathbf X = (1, 1, 0)\), com \(U_0 = \lambda = \gamma = 1\), até \(t = 2\), e compare com o movimento em forma fechada obtido em (a). Informe a diferença máxima e comente sua ordem de grandeza. Desenhe, na mesma figura, essa trajetória e a linha de corrente que passa pela posição da partícula no instante \(t_0 = 1\).
PS1.6
Proposto em U2.T2.
Considere o campo de velocidade \[v_1 = 3k\,x_2, \qquad v_2 = k\,x_1, \qquad v_3 = k\,x_3,\] com \(k > 0\) constante.
(a) Escreva a matriz de \(\nabla\mathbf v\) e obtenha \([\mathbf D]\) e \([\mathbf W]\) pelo Resultado 2.7.
(b) O vetor dual, por dois caminhos. Obtenha \(\mathbf w\) a partir de \(W_{ij} = -\varepsilon_{ijk}w_k\), componente a componente. Depois obtenha \(\boldsymbol\omega = \operatorname{rot}\mathbf v\) diretamente do campo, e verifique o Resultado 2.8. Se os dois caminhos discordarem em um sinal, indique em qual deles está o erro.
(c) Direções principais. Obtenha os autovalores e as direções principais de \(\mathbf D\). Qual elemento material estica mais depressa, e a que taxa? Qual encurta? Sugestão: o bloco \(1\)–\(2\) de \([\mathbf D]\) se diagonaliza sozinho, e a direção \(\mathbf e_3\) já é principal.
(d) Volume. Calcule \(\operatorname{tr}\mathbf D\) e \(\operatorname{div}\mathbf v\), confirme que coincidem, e diga se um elemento material deste escoamento ganha ou perde volume. Use o Resultado 2.10 para justificar a resposta em uma frase.
(e) Um teste de sanidade. Este movimento é rígido? Responda usando o Resultado 2.11, e não a intuição.
(f) Verificação numérica. Com numpy, monte a matriz de \(\nabla\mathbf v\) para \(k = 1\), obtenha \([\mathbf D]\) e \([\mathbf W]\) por álgebra matricial, e recupere \(\mathbf w\) contraindo o símbolo de permutação com np.einsum, como no laboratório U1.L1. Diagonalize \([\mathbf D]\) com numpy.linalg.eigh e compare autovalores e autovetores com os do item (c). Informe a maior diferença obtida e comente a sua ordem de grandeza.
Auto-estudo, não avaliado
Os problemas abaixo, de (Ruderman 2019), acompanham o assunto da lista. Eles não valem nota, e a razão é explícita: o próprio livro traz a solução completa de todos eles, no apêndice A. Servem para conferir a própria compreensão, e por isso vale tentá-los antes de abrir a solução.
| Capítulo | Problemas | Assunto |
|---|---|---|
| 2 | 2.1 a 2.6 | álgebra tensorial, símbolos de permutação, decomposições |
| 2 | 2.10 a 2.19 | cálculo tensorial e coordenadas curvilíneas |
| 3 | 3.1 e 3.2 | descrições do movimento e derivada material |
| 3 | 3.3, 3.4 e 3.5 | deformação e mudança de volume |
| 3 | 3.6 e 3.7 | linhas de corrente e trajetórias |
| 3 | 3.8 | conservação de massa numa esfera em expansão |
Nenhum item de PS1 é cópia de um destes problemas. O capítulo 3 de (Ruderman 2019) não traz problema sobre a decomposição em \(\mathbf D\) e \(\mathbf W\); esse conteúdo é coberto por PS1.6, que é do curso.