Deformação finita — enunciados de referência
Gradiente de deformação, decomposição polar e mudanças de volume · MAE369 · IM/UFRJ
Documento de consulta. Reúne os enunciados da descrição exata da deformação — válida para deformações de qualquer tamanho, e não apenas para as infinitesimais. Nenhuma demonstração é dada aqui; as deduções completas estão em (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.18–3.28). A numeração das caixas é a das notas de U2.T2, para que os dois documentos possam ser citados um pelo outro.
O objeto central
Um movimento leva a posição de referência \(\mathbf X\) de uma partícula na sua posição atual \(\mathbf x\). O gradiente desse mapa, tomado nas coordenadas materiais, é o retrato linear local do movimento.
\[\begin{aligned} &F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j}, \qquad dx_i = F_{ij}\,dX_j && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf F = \nabla_{\mathbf X}\,\mathbf x, \qquad d\mathbf x = \mathbf F\,d\mathbf X && \text{(direta)} \end{aligned}\] A invertibilidade do movimento equivale a \(\det\mathbf F > 0\). (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.18)
Descrição material — deriva-se em \(\mathbf X\), e o resultado age sobre elementos da configuração de referência.
Estiramento e rotação, separados
Todo \(\mathbf F\) com \(\det\mathbf F \neq 0\) se escreve, de modo único, como \[\mathbf F = \mathbf R\,\mathbf U = \mathbf V\,\mathbf R \qquad \text{(igual nas duas notações),}\] com \(\mathbf R\) ortogonal própria (\(\det\mathbf R = +1\)) e \(\mathbf U\), \(\mathbf V\) simétricos e positivos definidos — isto é, \(\mathbf a\cdot\mathbf U\mathbf a > 0\) para todo \(\mathbf a \neq \mathbf 0\). (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.21)
Com \(\mathbf C = \mathbf U^2\): \[\begin{aligned} &C_{ij} = F_{ki}\,F_{kj} && \text{(indicial)}\\[2pt] &\quad dx^{(1)}_i\,dx^{(2)}_i = dX^{(1)}_i\,C_{ij}\,dX^{(2)}_j &&\\[6pt] &\mathbf C = \mathbf F^{\mathsf T}\mathbf F && \text{(direta)}\\[2pt] &\quad d\mathbf x^{(1)}\!\cdot d\mathbf x^{(2)} = d\mathbf X^{(1)}\!\cdot \mathbf C\,d\mathbf X^{(2)} && \end{aligned}\] \(\mathbf C\) carrega todos os comprimentos e ângulos da configuração atual, escritos em variáveis materiais (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.23). A condição \(\mathbf C = \mathbf I\) caracteriza os movimentos rígidos (Ruderman 2019, seç. 3.4).
Volume e área
\[\begin{aligned} &dV = (\det\mathbf F)\,dV_0 && \text{(indicial)}\\[2pt] &\quad n_i\,dA = (\det\mathbf F)\,(F^{-1})_{ji}\,(n_0)_j\,dA_0 &&\\[6pt] &dV = (\det\mathbf F)\,dV_0 && \text{(direta)}\\[2pt] &\quad \mathbf n\,dA = (\det\mathbf F)\,\mathbf F^{-\mathsf T}\mathbf n_0\,dA_0 && \end{aligned}\] A segunda relação é a fórmula de Nanson. (Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.27–3.28)
Onde cada objeto é usado
| Objeto | Onde reaparece | Para quê |
|---|---|---|
| \(\mathbf F\) | U4.T1 | escrever o que significa uma descrição de material não depender do observador |
| \(\mathbf R\), \(\mathbf U\) da decomposição polar | U4.T1 | separar a rotação do estiramento antes de impor essa exigência |
| \(\mathbf C\) | U4.T1 | medida de deformação que já não contém rotação |
| \(\det\mathbf F\) | U2.T1 (invertibilidade); U3.T1 | fator de volume; é a invertibilidade assumida em U2.T1, agora com um número |
| Fórmula de Nanson | U3.T2 e adiante | converter integrais de superfície entre as duas configurações |
Como isto se liga ao que já foi visto
O tensor de deformação infinitesimal \(\mathbf E\) e a taxa de deformação \(\mathbf D\) são as versões linearizada e instantânea desta maquinaria. \(\mathbf E\) aproxima a informação contida em \(\mathbf C\) quando o deslocamento e as suas derivadas são pequenos; \(\mathbf D\) mede a taxa com que essa informação muda. As três descrições contam a mesma história, em três regimes.