U2.T1 — Descrições do movimento e derivada material

MAE369 — Mecânica e Fenômenos de Transporte · IM/UFRJ · 2026/2

Onde estamos

Figura 1

Hoje, uma partícula. Em U2.T2, a vizinhança dela. A caixa laranja é o roteiro de hoje: cada item nela é definido no seu próprio bloco.

Slide de orientação, antes da abertura do bloco A. Ele responde “onde estamos” e sai da tela; a aula começa de verdade no slide seguinte.

Frase de abertura sugerida: “a Unidade 1 inteira não se mexia. A partir de hoje tudo se mexe — e ainda sem uma única força.”

Enquadramento honesto, dizer em voz alta: hoje não há forças, só descrição. A cinemática é a gramática do movimento, e a física de U3 precisa dessa gramática pronta.

01Duas leituras do mesmo rio

O mesmo rio, dois termômetros

Dois termômetros iguais: um parado, o outro sobre uma partícula do fluido.

Deixar a figura falar antes de explicar. Perguntar à turma o que cada um mede, e esperar.

A legenda no alto define TUDO o que a figura usa — as três parcelas do campo e o que os tracejados são. Não há termo solto: quem quiser conferir, confere ali.

Os três pontos que precisam sair da conversa:

1. o termômetro do pilar não muda de posição; o fluido que ocupa essa posição muda a cada instante;
2. o outro termômetro está sobre uma partícula do fluido, em x_b + Ut;
3. os tracejados avançam com a mesma velocidade do fluido, e por isso a partícula nunca os deixa para trás.

A figura é gerada por scripts/python/fig_sensor_boia.py, que verifica cada afirmação antes de traçar. Não adiantar o nome D/Dt aqui.

As duas leituras

Aqui a cena deixa de ser retórica: os dois registros não são “em geral diferentes”, são estas duas funções, e o motivo de cada uma está escrito ao lado, tirado da própria fórmula.

O que fazer no quadro, se houver tempo: substituir x = x_b + Ut no campo e mostrar que o argumento do seno vira k x_b, constante. A partícula não vê essa parcela variar, porque viaja junto com ela.

Duas inclinações para destacar: H no ponto parado, GU + H na partícula. A diferença é GU, e ela ganha nome no bloco C. Não dar o nome agora.

E o fato que costuma parar a turma: entre t_a e t_b a leitura em x_f DIMINUI e a da partícula AUMENTA. Mesmo rio, instrumentos iguais, sinais opostos. Este é o momento de fazer a pergunta da sessão.

A pergunta da sessão

Como a leitura do medidor fixo se relaciona com o que a partícula sente?

A resposta ocupa uma linha, tem nome, e reaparece em quase todas as equações do resto do curso.

Quadro 1, persistente: escrever a pergunta no canto do quadro e NÃO apagar até o fecho. Ela é relida duas vezes — no bloco C, quando for respondida, e no bloco G.

Ao final do bloco F o Quadro 1 ganha a segunda pergunta, a do movimento rígido.

Por que isso importa depois: a dupla medidor-fixo/partícula é a mesma dupla forma espacial/forma material dos balanços de U3. Plantar a cena agora torna U3.T1 um reencontro, não uma novidade. Não dizer isso aos alunos hoje.

02O movimento e as duas descrições

Rotular partículas num contínuo

Num corpo com finitas partículas, cada uma recebe um número.

Num contínuo há infinitas, e a numeração acaba. O rótulo passa a ser a posição ocupada no instante de referência \(t = 0\). A região que o corpo ocupa nesse instante chama-se configuração de referência; a que ele ocupa no instante \(t\), configuração atual.

A partícula que estava em \(\mathbf X\) chama-se, para sempre, “a partícula \(\mathbf X\)”.

Quadro 2 abre aqui.

O ponto conceitual que costuma escapar: \(\mathbf X\) é um ponto do espaço usado como NOME PRÓPRIO. Ele identifica material, não lugar. Vale insistir, porque todo o resto depende de manter essa distinção.

(Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.1)

O movimento

\[\begin{aligned} &x_i = x_i(X_1, X_2, X_3, t) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf x = \mathbf x(\mathbf X, t) && \text{(direta)} \end{aligned}\]

\((X_1, X_2, X_3)\) são as coordenadas materiais; \((x_1, x_2, x_3)\), as coordenadas espaciais no instante \(t\).

O rótulo é normalizado por \(\mathbf x(\mathbf X, 0) = \mathbf X\).

A normalização diz apenas que, em t = 0, cada partícula está onde seu rótulo manda. Parece trivial e é.

Escrever no Quadro 2, e deixar.

Duas hipóteses, ditas uma vez

Suavidade. As funções \(x_i(\mathbf X, t)\) são diferenciáveis tantas vezes quantas cada passo exigir.

Invertibilidade. Para cada \(t\) fixo, o mapa é biunívoco: uma partícula por lugar, um lugar por partícula.

Segue que o movimento pode ser invertido: \(\mathbf X = \mathbf X(\mathbf x, t)\).

A invertibilidade entra hoje como hipótese QUALITATIVA. Ela admite uma medida quantitativa — um número cujo sinal decide se a hipótese vale numa vizinhança — e essa medida é construída em U2.T2. Não desenvolver hoje: é conteúdo da próxima sessão.

Se alguém perguntar pelo nome do número: dizer que ele tem nome, que é construído na próxima sessão, e seguir.

(Ruderman 2019, seç. 3.1)

As duas descrições de um mesmo campo

Seja \(\Phi\) uma grandeza qualquer definida sobre o corpo: temperatura, densidade, uma componente de velocidade.

\(\hat\Phi(\mathbf X, t)\) — dado o rótulo de uma partícula, devolve o valor para aquela partícula.

\(\Phi(\mathbf x, t)\) — dado um ponto do espaço, devolve o valor para a partícula que ocupa aquele ponto naquele instante.

O acento circunflexo não é enfeite: são duas funções diferentes descrevendo a mesma grandeza física.

Escrever as duas uma sob a outra no Quadro 2, como manda o plano.

(Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.2)

A ponte entre as duas

\[\begin{aligned} &\hat\Phi(\mathbf X, t) = \Phi\big(x_1(\mathbf X,t),\, x_2(\mathbf X,t),\, x_3(\mathbf X,t),\, t\big) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\hat\Phi(\mathbf X, t) = \Phi\big(\mathbf x(\mathbf X, t),\, t\big) && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Da esquerda para a direita: descubra onde a partícula está e leia o campo ali.

Da direita para a esquerda, com a inversa: converta espacial em material.

Esta composição é o objeto que o bloco C vai derivar. Vale escrevê-la com cuidado, porque a regra da cadeia daqui a pouco é aplicada exatamente sobre ela.

As duas configurações do corpo

Figura 2

Configuração de referência (\(t = 0\)) e configuração atual (\(t\)), com uma só origem.

Quadro 2, a figura central: desenhar as duas configurações com o mapa x(X,t) entre elas e a seta de volta.

Duas escolhas da figura que valem ser ditas em voz alta, porque o desenho errado ensinaria algo falso:

1. UMA ÚNICA ORIGEM. Não há dois espaços. Há um espaço, um referencial, e o corpo ocupando duas regiões em dois instantes. É por isso que subtrair x de X faz sentido — e essa subtração é o deslocamento, do bloco F.
2. DOMÍNIO CONVEXO, DE FRONTEIRA POLIGONAL. O que se precisa de fato é fronteira Lipschitz, que garante normal exterior em quase todo ponto e, portanto, o teorema da divergência de U1.T2 e os balanços de U3. Polígono é Lipschitz: a normal falta só nos vértices, que são finitos. Quina pode; cúspide e fenda não. Não desenvolver isso com a turma — mas não desenhar um domínio que violasse a hipótese, tampouco.

A configuração atual da figura é a IMAGEM do mesmo polígono por uma aplicação afim invertível, calculada, e não um segundo desenho à mão.

Este diagrama volta IDÊNTICO em U2.T2 (bloco E) e em U3.T1. Dizer isso: quando ele reaparecer, é para ser reconhecido, não reaprendido.

Velocidade e aceleração de uma partícula

As derivadas do movimento em relação ao tempo, com \(\mathbf X\) fixo:

\[\begin{aligned} &v_i = \left.\frac{\partial x_i}{\partial t}\right|_{\mathbf X}, \qquad a_i = \left.\frac{\partial^2 x_i}{\partial t^2}\right|_{\mathbf X} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf v = \left.\frac{\partial \mathbf x}{\partial t}\right|_{\mathbf X}, \qquad\ \ \, \mathbf a = \left.\frac{\partial^2 \mathbf x}{\partial t^2}\right|_{\mathbf X} && \text{(direta)} \end{aligned}\]

O símbolo \(|_{\mathbf X}\) registra que a derivada segue a mesma partícula.

Circular o |_X no quadro. É a marca que distingue esta derivada da que um medidor fixo executaria, e a sessão inteira gira em torno dessa diferença.

Observação a fazer agora, porque motiva o bloco C: assim definidas, v e a saem como funções de (X, t). Mas em fluidos quase nunca se conhece o movimento — o que se conhece é o campo v(x, t). Daí a tensão que o próximo bloco resolve.

Origem dos nomes

“Euleriana” para a descrição espacial; “lagrangiana”, ou “de referência”, para a material.

Os nomes são convenções consagradas, e os dois pontos de vista já circulavam na hidrodinâmica do século XVIII.

Eles designam pontos de vista, não autoria.

Aparte histórico protegido: 5 min, e não mais. Cronometrar.

A moral é de método, não de erudição: o que a sessão cobra é saber em qual ponto de vista se está a cada linha, e trocar de um para o outro sem erro.

Por isso as notas usam “material” e “espacial” sempre que houver risco de ambiguidade — os adjetivos dizem o que fazem.

(Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.2)

03A derivada material

O que se quer calcular

O campo é conhecido na descrição espacial: \(\Phi(\mathbf x, t)\).

A partícula não fica num ponto. Ler o campo no ponto atual não basta: no instante seguinte ela está em outro lugar.

A operação que se quer: tomar um campo espacial, seguir uma partícula com ele, derivar em \(t\).

Quadro 3 abre aqui e fica até o fim do bloco.

Este é o bloco central da sessão — 25 min, a peça que justifica todo o resto. Não acelerar aqui para ganhar tempo em outro lugar.

A definição

\[\frac{D\Phi}{Dt} := \left.\frac{\partial \hat\Phi}{\partial t}\right|_{\mathbf X} \qquad \text{(igual nas duas notações)}\] a taxa de variação de \(\Phi\) medida acompanhando a partícula.

A definição é imediata na descrição material. O que falta é uma receita em termos do campo espacial — que é o que se conhece.

Deixar claro que a definição, sozinha, não resolve nada de prático: ela está escrita na descrição que NÃO se tem. Os quatro passos seguintes existem para traduzi-la.

(Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.3)

Derivação guiada — passos 1 e 2

Passo 1. A descrição material é uma composição: \[\hat\Phi(\mathbf X, t) = \Phi\big(x_1(\mathbf X, t), x_2(\mathbf X, t), x_3(\mathbf X, t), t\big).\]

Passo 2. Derive em \(t\) com \(\mathbf X\) fixo. São quatro caminhos de dependência: \[\left.\frac{\partial \hat\Phi}{\partial t}\right|_{\mathbf X} = \frac{\partial \Phi}{\partial t} + \frac{\partial \Phi}{\partial x_1}\left.\frac{\partial x_1}{\partial t}\right|_{\mathbf X} + \frac{\partial \Phi}{\partial x_2}\left.\frac{\partial x_2}{\partial t}\right|_{\mathbf X} + \frac{\partial \Phi}{\partial x_3}\left.\frac{\partial x_3}{\partial t}\right|_{\mathbf X}\]

Anunciar cada passo antes de escrevê-lo. Escrever os três termos por extenso no quadro, sem a convenção de Einstein — a contração vem no passo 3, e é mais convincente depois de ver os três.

O primeiro termo tem as três coordenadas espaciais FIXAS: é o que o medidor parafusado registra. Apontar para ele.

Derivação guiada — passos 3 e 4

Passo 3. Os três últimos termos contraem-se pela convenção de Einstein: \[\left.\frac{\partial \hat\Phi}{\partial t}\right|_{\mathbf X} = \frac{\partial \Phi}{\partial t} + \frac{\partial \Phi}{\partial x_j}\left.\frac{\partial x_j}{\partial t}\right|_{\mathbf X}\]

Passo 4. O fator \(\left.\partial x_j/\partial t\right|_{\mathbf X}\) já tem nome: pela Definição 2.3, é \(v_j\).

O passo 4 é o momento pedagógico do bloco: a velocidade entra POR DEFINIÇÃO, não por hipótese acrescentada. Dizer isso explicitamente.

Perguntar à turma qual é aquele fator antes de responder. Quase sempre alguém reconhece.

O resultado

Para todo campo \(\Phi\) na descrição espacial, com movimento suave e invertível:

\[\begin{aligned} &\frac{D\Phi}{Dt} = \frac{\partial \Phi}{\partial t} + v_j\,\frac{\partial \Phi}{\partial x_j} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\frac{D\Phi}{Dt} = \partial_t \Phi + \left(\mathbf v\cdot\nabla\right)\Phi && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Quadro 3: desenhar a moldura em volta desta caixa, as duas notações lado a lado. É a caixa mais citada do curso — ela volta em U2.T2, U3.T1, U5.T1 e U6.T1. NÃO apagar antes do fim do bloco D.

Nas notas ela é o Resultado 2.1, e é por esse número que as sessões seguintes a citam.

Vale com \(\Phi\) escalar e, componente a componente, com \(\Phi\) vetorial ou tensorial: a derivação não usou nada da natureza de \(\Phi\).

Como ler os dois termos

\(\dfrac{\partial \Phi}{\partial t}\) — variação local: o que o medidor da ponte registra. Nula se o campo não depende explicitamente de \(t\).

\(v_j\,\dfrac{\partial \Phi}{\partial x_j}\) — variação advectiva: a correção por estar sendo carregado através de uma região onde \(\Phi\) varia de ponto a ponto. Advecção é esse transporte de uma propriedade pelo próprio movimento do meio.

Ler em voz alta: “variação local mais advecção”.

A palavra “advecção” é nova para boa parte da turma. Definir na hora: transporte de uma propriedade pelo próprio movimento do meio.

Os dois termos, em figura

A figura separa as duas contribuições ao longo de UM passo de tempo: o que o campo teria variado com a partícula parada, mais o que ela colhe por ter mudado de lugar.

Deixar a figura no ar enquanto se relê a pergunta do Quadro 1.

A pergunta da sessão está respondida

Como a leitura do medidor fixo se relaciona com o que a partícula sente?

A leitura do medidor é o primeiro termo. O que a partícula sente é a soma dos dois. A diferença entre as duas leituras é a advecção.

Apontar fisicamente para o Quadro 1 ao dizer isto. A pergunta está lá desde o começo da aula, e este é o momento em que ela é riscada.

Não apagar a pergunta: ela é relida no fecho.

O rio da abertura: as duas parcelas

Com \(\mathbf v = U\,\mathbf e_1\) e o campo da abertura:

\[\frac{\partial \theta}{\partial t} = H - A\,kU\cos\left(k(x - Ut)\right), \qquad U\frac{\partial \theta}{\partial x} = GU + A\,kU\cos\left(k(x - Ut)\right)\]

Cada uma oscila, com a mesma amplitude \(A\,kU\) e sinais opostos.

Escrever as duas no quadro, uma sob a outra, e circular os dois termos em cosseno. É a partir deles que o cancelamento fica visível.

Num ponto fixo do rio, portanto, nem a variação local nem a advectiva são constantes. Perguntar à turma o que acontece com a soma antes de virar o slide.

O que a partícula sente

As duas parcelas oscilantes se cancelam, e sobra uma constante:

\[\begin{aligned} &\frac{D\theta}{Dt} = \frac{\partial \theta}{\partial t} + v_j\,\frac{\partial \theta}{\partial x_j} = H + GU && \text{(indicial)}\\[4pt] &\frac{D\theta}{Dt} = \partial_t\theta + \left(\mathbf v\cdot\nabla\right)\theta = H + GU && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Este é o fecho do arco que começou no bloco A, e vale gastar dois minutos nele.

Três coisas para dizer, nesta ordem:

1. o resultado é constante em todo ponto e em todo instante, e bate com a inclinação do registro da boia, obtida no bloco A por outro caminho, sem derivada material nenhuma;
2. cada parcela oscila; num ponto fixo, nem a local nem a advectiva são constantes — a soma é;
3. logo o que a partícula sente é mais simples do que qualquer das duas causas isoladas. Isso não é acidente do exemplo: é o motivo de D/Dt ser o operador com que as leis de balanço são escritas.

Se a turma perguntar por que as oscilações se cancelam: porque a parcela senoidal é constante ao longo de cada trajetória — a partícula não a vê variar.

O caso \(\Phi = \mathbf v\)

Aceleração da partícula que ocupa \(\mathbf x\) no instante \(t\):

\[\begin{aligned} &a_i = \frac{\partial v_i}{\partial t} + v_j\,\frac{\partial v_i}{\partial x_j} && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf a = \partial_t \mathbf v + \left(\mathbf v\cdot\nabla\right)\mathbf v && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Quadro 3, logo abaixo da caixa anterior, como manda o plano.

Este é o resultado que torna a mecânica dos fluidos possível na descrição espacial: fecha o cálculo da aceleração sem exigir o movimento x(X,t), que quase nunca se conhece.

Justificar em uma frase por que \(a_i = Dv_i/Dt\): a descrição material da velocidade é a composição do campo espacial com o movimento, e derivá-la com \(\mathbf X\) fixo é, pela Definição 2.3, a aceleração.

O termo que carrega a dificuldade

\[v_j\,\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\]

Este termo é quadrático em \(\mathbf v\): a velocidade aparece nele duas vezes, uma como fator e outra dentro da derivada.

A soma de duas soluções não produz a soma das duas acelerações.

Este é o lado esquerdo, ainda sem forças, da equação de U6.T1.

Circular o termo no quadro, como manda o plano.

É a origem da não linearidade das equações de movimento dos fluidos. A partir daqui, toda dificuldade analítica e numérica do curso que não vier da geometria vem deste termo.

Comparar com o formato canônico duplo de L1: é literalmente o mesmo lado esquerdo, e ele volta idêntico em U6.T1.

Duas lacunas, deliberadamente abertas

1. A regra da cadeia do passo 2 exige diferenciabilidade de \(\Phi\) e do movimento.
2. A fórmula só é útil se for possível ir de \(\mathbf x\) para \(\mathbf X\) — isto é, usar a inversa do movimento, que diz qual partícula ocupa o ponto \(\mathbf x\) no instante \(t\).

As duas são fechadas em PS1.5, item (a), num caso concreto e com roteiro.

Derivação guiada (L1 §2.3): as lacunas são assinaladas como lacunas e viram item de lista com roteiro. Não fechá-las ao vivo.

Dizer por que elas não são detalhe técnico: um movimento que perde a invertibilidade num instante é um movimento em que a descrição espacial deixa de fazer sentido naquele instante.

04O campo-exemplo da Unidade 2

O campo

\[v_1 = \alpha\,x_2, \quad v_2 = \beta\,t, \quad v_3 = 0 \qquad \leftrightarrow \qquad \mathbf v = \alpha\,x_2\,\mathbf e_1 + \beta\,t\,\mathbf e_2,\] com \(\alpha > 0\) (inverso de tempo) e \(\beta > 0\) (aceleração), no plano \((x_1, x_2)\) e para \(t \geq 0\).

O primeiro termo faz camadas horizontais deslizarem umas sobre as outras; o segundo empurra todo o material para cima, cada vez mais depressa.

O campo depende explicitamente de \(t\).

Quadro 4 abre aqui, e fica até o fim do bloco E.

Este campo é fixado nas notas com nome próprio e é usado de novo em U2.T2, no bloco da decomposição local. Mesmo campo nas duas sessões: economia de setup e continuidade visível para a turma.

O cisalhamento simples é o de (Lai, Rubin, e Krempl 2010, Ex. 3.1.1); o arraste transversal é o acréscimo que quebra a estacionaridade.

PS1.5 usa uma VARIANTE deste campo, não ele próprio.

O campo, em figura

Figura 3

O mesmo campo em dois instantes; a seta laranja marca o mesmo ponto.

Dois instantes lado a lado. O que precisa ser visto: as setas mudam de direção entre os dois quadros, e é essa mudança de direção que separa as duas famílias de curvas do bloco E.

Se a turma já enxergar isso aqui, o bloco E fica fácil.

A aceleração, componente a componente

\[a_1 = \underbrace{\frac{\partial v_1}{\partial t}}_{0} + v_1\underbrace{\frac{\partial v_1}{\partial x_1}}_{0} + v_2\underbrace{\frac{\partial v_1}{\partial x_2}}_{\alpha} = \alpha\beta\,t\]

\[a_2 = \underbrace{\frac{\partial v_2}{\partial t}}_{\beta} + v_1\underbrace{\frac{\partial v_2}{\partial x_1}}_{0} + v_2\underbrace{\frac{\partial v_2}{\partial x_2}}_{0} = \beta , \qquad a_3 = 0\]

Conta completa no Quadro 4, escrevendo a soma em j por extenso. Não pular termos nulos na primeira passagem: o objetivo é a turma ver de onde vem cada zero.

Depois de escrita, apagar mentalmente os zeros e mostrar o que sobra.

O mesmo cálculo, na notação direta

\[\partial_t\mathbf v = \beta\,\mathbf e_2 , \qquad \left(\mathbf v\cdot\nabla\right)\mathbf v = \alpha\beta\,t\,\mathbf e_1\]

\[\mathbf a = \alpha\beta\,t\,\mathbf e_1 + \beta\,\mathbf e_2\]

As duas contas coincidem. Escrever nas duas notações é uma verificação barata, que apanha erro de índice.

Este é o argumento pelo qual o curso inteiro escreve tudo duas vezes. Vale dizer com todas as letras aqui, uma vez, e não repetir depois: a segunda notação é um teste, não burocracia.

O medidor fixo e a partícula discordam

\(v_1 = \alpha x_2\) não depende de \(t\): um medidor fixo conclui que nada acelera na direção \(x_1\).

E, no entanto, \(a_1 = \alpha\beta t \neq 0\).

As partículas sobem para camadas onde \(v_1\) é maior. A aceleração está inteiramente no termo advectivo.

Este é o slide que fecha o arco do bloco A. Relacionar de novo com o Quadro 1.

Se houver tempo para uma só pergunta à turma nesta aula, é esta: por que \(a_1\) não é zero, se \(v_1\) não depende do tempo?

O movimento, em forma fechada

\[x_1 = X_1 + \alpha X_2\,t + \tfrac16\alpha\beta\,t^3, \qquad x_2 = X_2 + \tfrac12\beta\,t^2\]

Derivando duas vezes com \(\mathbf X\) fixo: \(a_1 = \alpha\beta t\), \(a_2 = \beta\).

Os mesmos valores, por um caminho independente.

Mostrar a integração rapidamente: a equação de \(x_2\) não envolve \(x_1\) e sai imediata; a de \(x_1\) usa o resultado da de \(x_2\).

O ponto da verificação: o primeiro cálculo partiu do campo espacial e nunca viu o movimento; o segundo partiu do movimento e nunca viu o Resultado 2.2. Coincidir não era obrigatório do ponto de vista algébrico — é o resultado que garante.

A inversa explícita está nas notas. Ela é o item (a) de PS1.5, num outro campo.

05Linhas de corrente e trajetórias

Duas curvas

Trajetória: a curva percorrida por uma partícula à medida que o tempo corre.

Linha de corrente do instante \(t_0\): a curva tangente, em cada ponto, ao campo de velocidade congelado naquele instante.

Quadro 4, ao lado da conta do campo-exemplo.

(Ruderman 2019, seç. 3.2) é a fonte principal deste bloco; Lai só tangencia o assunto.

Duas equações

\[\begin{aligned} &\frac{dx_i}{dt} = v_i(\mathbf x, t), \qquad\quad\ \ \frac{dx_i}{ds} = v_i(\mathbf x, t_0) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\frac{d\mathbf x}{dt} = \mathbf v(\mathbf x, t), \qquad\quad \frac{d\mathbf x}{ds} = \mathbf v(\mathbf x, t_0) && \text{(direta)} \end{aligned}\]

À esquerda o tempo corre. À direita ele está congelado, e \(s\) é um parâmetro auxiliar que não é tempo.

A diferença inteira está no papel de t: variável independente à esquerda, parâmetro fixo à direita.

Consequência a dizer: um instante diferente produz, em geral, outra família de linhas de corrente. Isso motiva a figura de dois instantes que vem a seguir.

Aqui \(d/dt\) é legítimo

As duas equações usam \(d/dt\) e \(d/ds\), não \(D/Dt\).

A incógnita \(\mathbf x(t)\) é a posição de uma partícula: uma função só de \(t\), não um campo.

Onde não há dependência espacial, não há ambiguidade a resolver.

Nuance de notação exigida pelo cânone (L1 §4.4), e registrada nas notas em seção própria.

A regra completa: D/Dt para campos espaciais; d/dt para funções só de t — trajetória x(t), e mais adiante c(t) e R(t) do movimento rígido.

Escrever d/dt para um campo espacial é erro de notação neste curso, porque a expressão não determina qual das duas derivadas se pretende.

Quando as duas famílias coincidem

Se o campo de velocidade se fatora como abaixo, com \(f > 0\) e \(\mathbf u\) independente do tempo, então as linhas de corrente coincidem, como curvas, com as trajetórias. Em particular, isso vale sempre que o escoamento é estacionário, isto é, sempre que \(\partial_t\mathbf v = \mathbf 0\).

\[\begin{aligned} &v_i(\mathbf x, t) = f(\mathbf x, t)\,u_i(\mathbf x) && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf v(\mathbf x, t) = f(\mathbf x, t)\,\mathbf u(\mathbf x) && \text{(direta)} \end{aligned}\]

Demonstração em duas frases, no quadro: sob a hipótese, o vetor tangente é paralelo a u(x) nos dois problemas; duas curvas pelo mesmo ponto com a mesma direção tangente em cada ponto são a mesma curva. O que difere é só a parametrização.

O caso menos óbvio, que vale destacar: um escoamento NÃO estacionário pode ter as duas famílias coincidentes, desde que o tempo altere só o módulo da velocidade, nunca a direção.

O campo-exemplo não satisfaz o critério

No ponto \((x_1, x_2)\) com \(x_2 \neq 0\), o vetor velocidade é \((\alpha x_2,\ \beta t)\).

Em \(t\) pequeno ele é quase horizontal; com \(t\) crescendo ele se inclina.

A direção muda com o tempo. Logo as duas famílias são distintas.

Voltar à figura do bloco D, onde essa mudança de direção já foi vista. Aqui ela ganha consequência.

As duas famílias, desenhadas

Quadro 4: desenhar as duas famílias em cores ou tracejados distintos, como manda o plano — linhas de corrente a tempo congelado, trajetórias sobrepostas.

As trajetórias são cúbicas em t; as linhas de corrente são parábolas cuja abertura depende do instante congelado. As duas formas fechadas estão nas notas.

Deixar a figura no ar durante o slide seguinte.

O erro que a distinção previne

Visualizações de escoamento quase sempre desenham linhas de corrente — elas saem de um único instante do campo.

O material transportado segue trajetórias.

Em escoamento não estacionário, ler uma figura de linhas de corrente como o caminho do material é uma conclusão errada.

Este é o produto pedagógico do bloco. É um erro recorrente, e ele custa caro em U6.L1 e U9, onde a turma vai olhar visualizações numéricas.

Ligação para a frente: as duas famílias voltam em U5.T1, onde Bernoulli é enunciado ao longo de linhas de corrente de escoamento estacionário — hipótese sob a qual, pelo Resultado 2.3, a distinção desaparece.

Exercício proposto: PS1.5

Dado o campo \(v_1 = U_0(1 + \lambda t)\), \(v_2 = \gamma x_1\), \(v_3 = 0\): obtenha o movimento e sua inversa, a velocidade nas duas descrições, a aceleração por dois caminhos independentes, a derivada material de um campo de temperatura, e as duas famílias de curvas.

Roteiro completo nas notas, em seis itens. O último é numérico.

Atribuir AGORA, com a distinção ainda no quadro. É o momento em que ela está mais fresca.

O item (a) fecha as duas lacunas assinaladas no bloco C. Dizer isso ao atribuir: a lista não é exercício avulso, é a continuação da derivação de hoje.

O campo é uma variante do campo-exemplo, com os papéis das componentes trocados — nunca o próprio campo, e nunca um problema de Ruderman copiado (L1 §2.6).

Auto-estudo, sem nota: Ruderman Pr. 3.1, 3.2 e 3.6. O 3.2 refaz o caminho da sessão e verifica a identidade de D/Dt; o 3.6 é o das duas famílias de curvas. NÃO indicar 3.3 a 3.5: são deformação, conteúdo de U2.T2.

06Deslocamento e movimento rígido

O campo de deslocamento

\[u_i = x_i - X_i \qquad \leftrightarrow \qquad \mathbf u = \mathbf x - \mathbf X\]

A mesma informação do movimento, escrita como diferença em vez de posição.

Ele assume protagonismo em U2.T2, quando os deslocamentos forem pequenos.

Uma linha, e seguir. Hoje o deslocamento é só definido; o uso é da próxima sessão.

Para o campo-exemplo: \(u_1 = \alpha X_2 t + \alpha\beta t^3/6\) e \(u_2 = \beta t^2/2\). Está nas notas.

(Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.5)

Movimento rígido

Todo movimento que preserva as distâncias entre partículas tem a forma:

\[\begin{aligned} &x_i(t) = c_i(t) + R_{ij}(t)\left[X_j - c_j(0)\right] && \text{(indicial)}\\[4pt] &\mathbf x(t) = \mathbf c(t) + \mathbf R(t)\left[\mathbf X - \mathbf c(0)\right] && \text{(direta)} \end{aligned}\]

c(t) é a posição, em t, da partícula que ocupava c(0); R(t) é ortogonal para cada t, com R(0) = I.

Leitura: o primeiro termo translada o corpo sem girar, o segundo gira em torno da partícula de referência.

(Lai, Rubin, e Krempl 2010, seç. 3.6)

Tudo o que esta fórmula exige já foi demonstrado

\(\mathbf R(t)\) é ortogonal próprio — uma rotação, com \(\det\mathbf R = +1\) — e \(\mathbf R(0) = \mathbf I\).

\(\mathbf Q\mathbf Q^{\mathsf T} = \mathbf I\), preservação do produto escalar, \(\det\mathbf Q = \pm 1\) — tudo estabelecido em U1.T1. O sinal \(+1\) sai de \(\mathbf R(0) = \mathbf I\) e da continuidade em \(t\).

Dizer com todas as letras: “vocês já provaram tudo o que esta fórmula precisa”. É um dos poucos momentos em que a Unidade 1 paga dividendo visível, e vale cobrá-lo.

Observação de notação, de passagem: c(t) e R(t) são funções só do tempo, logo d/dt nelas é legítimo.

O movimento rígido, em figura

Translação mais rotação. As distâncias entre partículas são as mesmas nas duas configurações — é isso que a figura precisa mostrar.

Pergunta para a próxima sessão

Que campo de velocidade um movimento rígido gera, e o que distingue esse campo do campo-exemplo desta sessão?

Quadro 1 ganha a segunda pergunta agora, ao lado da primeira. As duas são relidas no fecho.

NÃO derivar o campo de velocidade do movimento rígido hoje. O teaser é calibrado e a resposta é o bloco D de U2.T2.

Se alguém responder corretamente na hora, elogiar e não desenvolver.

07Fecho

O que ficou

Duas descrições. Material segue a partícula; espacial fica no ponto. A ponte é a composição com o movimento.

Uma derivada. \(D\Phi/Dt = \partial_t\Phi + (\mathbf v\cdot\nabla)\Phi\) — variação local mais advecção.

Duas famílias de curvas. Trajetórias e linhas de corrente, que só coincidem sob o critério do Resultado 2.3.

Bloco G, 5 min.

Reler o Quadro 1 inteiro: a pergunta da sessão, respondida no bloco C; a pergunta do movimento rígido, em aberto.

O que vem em U2.T2

Hoje seguimos uma partícula. A próxima sessão olha a vizinhança dela.

Dessa mudança de foco saem: a resposta à pergunta do movimento rígido, a medida quantitativa da invertibilidade, e o vetor dual prometido em U1.T2, agora com significado cinemático.

O gancho de U1.T2 é uma promessa registrada e ainda não quitada — a quitação é de U2.T2. Vale nomeá-la aqui para que a turma perceba que o curso não esquece o que promete.

Não adiantar nomes dos objetos de U2.T2 além do que está no slide.

Referências

Lai, W. Michael, David Rubin, e Erhard Krempl. 2010. Introduction to Continuum Mechanics. 4º ed. Butterworth-Heinemann.

Ruderman, Michael S. 2019. Fluid Dynamics and Linear Elasticity: A First Course in Continuum Mechanics. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer.